1 8.Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер(туннельный эффект)

Область пространства, в которой потенциальная энергия больше, чем в окружающем пространстве называется потенциальным барьером. В случае, представленном на рисунке, энергия потенциального барьера определяется таким образом: . Будем рассматривать одномерный случай. В случае многомерной потенциальной ямы уравнение Шредингера придётся записывать просто для каждой координаты. Таким образом, не ограничивая общности, мы можем рассматривать одномерный случай. Если частица, имеющая энергию E, движется в области I, в направлении оси oX, то в классической механике, если E<U0, то частица не сможет преодолеть потенциальный барьер, отразится и изменит направление своего движения на противоположное. В квантовой механике вероятность прохода частицы существует. Явление прохода частицы во вторую и третью зоны называется туннельным эффектом. Туннельный эффект характеризуется коэффициентом пропускания барьера: и коэффициентом отражения . Так как частицы не могут оседать на стенках ямы, то T+R=1. Найдём эти коэффициенты. Рассмотрим уравнения Шредингера, описывающие состояние частицы в первой, второй и третьей областях.

, где . , где . , где .

Решения этих уравнений имеют соответственно вид:

1. Так как существует вероятность того, что частица будет двигаться как по направлению оси oX, так и против, то решение будет содержать два слагаемых, описывающих движение частицы, происходящее сонаправлено с осью oX и в противополож. стор. . .

2. В данном случае движение начинается с точки a и происходит сонаправлено с осью oX. Поэтому решение уравнения примет вид: .

3. П олучим теперь квантово-механическое выражение для интенсивности. По определению интенсивности можно записать: . Представим dS через объём и длину области: . Тогда . Здесь v – скорость движения частицы в данном направлении. Очевидно, что число частиц в данной области пространства пропорционально плотности вероятности нахождения частицы в данный момент времени в данной точке пространства:

. Данный интеграл даёт значение близкое к единице. Поэтому, .Подставляя последнее выражение в

ф ормулу для импульса,получим:.

Р аспишем скорость частицы через её импульс:, где k – волновое число. Тогда.

 В последних четырёх формулах под A подразумевается один из пяти коэффициентов, стоящих перед экспонентами в решениях уравнения Шредингера. Тогда для интенсивности падающих частиц имеем: , для интенсивности прошедших – и для интенсивности отражённых – . Таким образом, используя данные выше определения коэффициентов пропускания и отражения для барьера, можно записать: и . Получим теперь соотношения между коэффициентами в решении уравнения Шредингера: A1,A2,A3,B1,B2.. Будем исходить из того, что волновая функция – непрерывная и гладкая функция. Поэтому выполнены следующие 4 условия:.---------------

Подставляя значения функций и их первых производных в заданных точках, получим следующую систему:. Решая её, получим:

, где . Сравнивая полученные выражения, можно заметить, что так как , то A2=B2, поэтому мы можем положить B2≈0. Исходя из этого допущения, остальн. соотн. запишутся довольно легко:.

Т. о., для T имеем: .

Подставляя в полученное ранее соотношение для k, приведём это уравнение к следующему виду: , или . R определим из T+R=1: , или . Если коэффициент пропускания не слишком мал, то есть , мы можем оценить ширину барьера, при которой сквозь него будут проникать частицы: , . Подставляя численные значения, получим a≈10-10м.

Потенциальная энергия электронов вне металла больше, чем потенциальная энергия внутри металла, причём на границе раздела металл – вакуум потенциальная энергия резко возрастает. Внутри металла в устойчивом состоянии электроны занимают уровни с минимальной энергией. Если вблизи металла имеется электростатическое поле, которое стремится вырвать электроны из метала, то электроны будут стремиться покинут металл. Это явление называется холодной эмиссией электронов.

В рамках классической механики объяснить его невозможно, так как поле в металл не проникает. то изменение потенциальной энергии возможно лишь вне металла, а чтобы покинуть металл электроны должны преодолеть потенциальный барьер, но их энергия меньше высоты барьера, поэтому частицы за него проникнуть не могут.

Ещё одно явление, механизм которого стал понятен благодаря туннельному эффекту – это α – распад. Так называется самопроизвольное (с точки зрения наблюдателя) вырывание α – частиц из ядра.