20. Уравнение Шредингера для атома водорода, собственные значения и собственные функции угловой части.
Р/м
движение эл-на в центрально-симметричном
кулоновском поле ядра. Ур-е Шр-ра для
частицы в центрально-симметричном
поле:
.
Будем р/м движение частицы в сферической
системе координат.
(1), где
(1). Решение уравнения Шредингера будем
искать в виде:
.
Подст-я реш в ур Шредингера:
.
Так как обе части этого уравнения входят
независимые переменные и эти части
равны, то мы должны положить
.
Т.о, это ур распадается на 2:
(2) и
(3). Рассмотрим сначала решение ур
(3). Распишем лапласиан, связанный с
поворотом тела в прост-ве:
.
.
Так как
не зависит ни от
,
ни от
,
то
=const
Тогда
.
Будем искать его решение в виде:
Разделим
на
:
,
где
– константа разделения. Разобьём это
ур на 2 части:
и
,
.
Запишем систему
Решение
первого уравнения данной системы имеет
вид:
.
Из требования однозначности решения
следует, что
должно быть любым положительным или
отрицательным числом. Поэтому все
собственные функции дифференциального
уравнения (4) могут быть представлены
формулой:
,
где m=0,+-1,+-2. Постоянная C находится из
условия нормировки и равна
.
Т.образом,
.
Решая уравнение (5), перейдём к новым
координатам:
.
Тогда
и
;
dθ=-dξ/√(1-ξ2). С учётом последних
преобразований перепишем уравнение
(5):
.
Чтобы привести данное уравнение к
стандартному виду введём обозначение:
,
где l – неотрицательное целое число.
Тогда решением данного уравнения будет
присоединённый полином Лежандра:
.
Причём, при заданном l, m может принимать
только 2l+1 значение:
.
Волновая функция должна удовлетворять
условию нормировки:
;
.
Так как
и
связаны однозначно, то мы можем переписать
последний интеграл в виде:
.
Выражение, стоящее под внутренним
интегралом, не зависит от
,
поэтому мы можем вычислять каждый
интеграл по отдельности и полученные
значения перемножить. Известно, что
,
где
– символ Кронекера. Второй интеграл
даёт значение
.
Собственная функция уравнения (5)
запишется в виде:
.
Тогда с помощью условия нормировки, мы
можем записать:
.
.
Мы получили угловую функцию, описывающую
движение частиц в центрально –
симметричном поле.
21. Атом водорода, собственное значение и собственная ф-я радиальной части ур-я Шредингера
Рассмотрим
потенциальную энергию частицы:
.
Решим уравн Шредингера для потенциальной
составляющей:
.
Введём следующие обозначения:
;
.
Замена переменных:
,
;
.
Тогда уравнение примет вид:
(1).
1)Р/м
сначала асимптотическое решение при
p→∞. Тогда(1) преобр к виду:
.
Решением его будет
.
Чтобы решен было ограничено на
бесконечности, необходимо положить
;
.
2)Теперь
рассмотрим ассимптотику при p→0:
.
Решение будем искать ввиде:
:
,
,
;
.
Мы получили уравнение относительно
:
,
.
.
Если
,
то
.
При p→∞, p→0. Поэтому данное
придётся отбросить. Т.о, остаётся
решение:
.
Решение
для радиальной составляющей волновой
функции мы будем искать в виде:
.
Здесь ν(p) – некот функция, которая
определяет поведение R в промежутке от
0 до бескон. Подставляем данный вид
реш-я в (1):
(2). Введём ограничен на функцию
:
она не должна на бескон расти быстрее,
чем
,
а в 0 должна либо обращаться в 0, либо
быть const,
.
Подставим в (2):
.
Данный
многочлен будет равен нулю только в
том случае, когда коэффициенты при
каждой степени p будут равны нулю:
.
Данное соотношение даёт рекуррентную
формулу
.
Оценим коэффициенты ak при k→∞:
,
.
Т.о,
и
.
Тогда при каком-нибудь малом значении
многочлен можно оборвать:
,
а
.
Данное услов будет выполнено, если
коэффициент при
будет равен нулю:
,
;.
,
.
.
,
.
Из этой формулы следует, что энергия
зависит от l и k. Введём следующее
обозначение: l+k+1=n. Тогда
, где n=1,2,... Таким образом, решая уравнение
Шредингера, мы нашли энергии
водородоподобного атома, то есть нашли
собственные значения оператора
Гамильтона.