16. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками.

Рассмотрим частицу, находящуюся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В этом случае потенциальная энергия частицы  имеет вид

     

     т.е. внутри ямы ( ) потенциальная энергия  постоянна и равна нулю, а вне ямы обращается в бесконечность ( рис.4.1 ).

Уравнение Шредингера и его решение для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками^

Уравнение Шредингера: , где ψ – волновая функция, Е – энергия частицы.

Для случая U = 0, получим или , где a² = 2mE/ ². Это уравнение описывает положение частицы внутри потенциальной ямы. Оно имеет решение, представляющее собой суперпозицию двух волн, распространяющихся в противоположных направления вдоль оси x.

Итак, соотношение для энергии частицы в бесконечной прямоугольной яме:

(4.16)

     Важной особенностью полученного энергетического спектра (4.16) является его дискретность. Частица, находящаяся в потенциальной яме, может иметь только дискретные, квантованные, значения энергии, определяемые выражением (4.16). Отметим, что решение

уравнения Шредингера само по себе к квантованию энергии не приводит, квантование возникает из-за граничных условий, накладываемых на волновую функцию, т.е. из-за равенства нулю волновой функции на границе потенциальной ямы.

Число   в (4.16) , определяющее энергию частицы в яме, называется квантовым числом, а соответствующее ему значение   - уровнем энергии. Состояние частицы с наименьшей энергией, в данном случае с   , называется основным состоянием. Все остальные состояния являются возбужденными: значение   отвечает первому возбужденному состоянию, значение   - второму возбужденному состоянию и т.д.

     Следует отметить, что минимальное значение энергии частицы, находящейся в основном состоянии, отлично от нуля. Этот результат согласуется с соотношением неопределенностей и является общим для всех задач квантовой механики. В классической механике минимальную энергию, равную нулю, имеет покоящаяся в яме частица. Такого состояния покоя у квантовой частицы не существует.

17.Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме конечной глубины

Рассмотрим случай несимметричной ямы: один барьер бесконечный, а другой имеет конечные размеры. Рассмотрим движение в двух областях: 0<x<a и x>a.

1. В первой области уравнение Шредингера имеет вид . Вводя обозначение , получим: . Решение этого уравнения аналогично предыдущему пункту: . Из граничных условий, которые соответствуют (1), получаем, что B1=0 и .

2. Во второй области уравнение Шредингера имеет вид: или . Введём здесь обозначение: С учётом обозначения можно записать: . Решение данного уравнения зависит от k2. Имеют место два случая: и в зависимости от знака k. Разберём каждый случай.

1.Случай Общий вид решения исходного уравнения задаётся формулой: . Волновая функция частоты должна быть непрерывна. Этот факт математически выражается так: и (2). Подставляя значения функций, получим: или . Считая производные и удовлетворяя равенству (2), получим: или . Мы получили систему уравнений: . Эти условия всегда могут быть удовлетворены. Поэтому в случае спектр энергии непрерывен, частица при своём движении не локализована в конечной области пространства, её движение инфинитно.

1. Случай . В этом случае . Решением этого уравнения будет функция следующего вида: . Первое слагаемое в данном уравнении не имеет физического смысла, иначе волновая функция неограниченно возрастать с увеличением x. Поэтому мы обязаны положить A2=0. Получится уравнение: . Эта функция ограничена для любого значения энергии. Однако даже если энергия частицы меньше энергии потенциального барьера, то всё равно существует вероятность обнаружить частицу за барьером. С ростом x волновая функция убывает.

П опробуем теперь найти возможные значения энергии, которые будут принимать частица в том случае, если её энергия будет меньше энергии потенциального барьера: . Рассмотрим уравнения волновых функций в двух различных областях: , . Из соображений конечности волновой функции и её непрерывности мы можем записать: и . Подставляя конкретный вид соответствующей функции, получим: и . Разделим второе уравнение на первое. В результате получим: , (3). Найдём возможные значения k1 и k2, чтобы найти возможные значения энергии. Известно, что , а . Возвращаясь к выражениям (3) и используя только что приведённые, получим: . Подставляя выражение для k1 в предыдущую формулу, получим , ,так как . Тогда , где . Решаем последнее уравнение графически. Точки пересечения дают значения энергии. Так как прямая неограни-но возрастает, а синус – функция ограниченная, то число точек пересечения будет конечно. Таким образом, и спектр энергии будет дискретным.