Диференціал функції
Нехай функція
диференційована в точці
.
Диференціалом цієї функції в точці
називається добуток її похідної на
приріст незалежної змінної:
звідки
Якщо функція
диференційована в кожній точці
інтервалу (
),
то
для
всіх
Диференціал функції має властивості аналогічні властивостям похідних. Важливою є також властивість інваріантності форми диференціала: формула зберігається і в тому випадку, коли є функцією, а не залежною змінною.
З означення похідної функції
у точці
випливає, що її приріст
у точці
можна подати у вигляді
,
де
,
якщо
.
Отже, при малих
,
тобто
.
Ця формула дозволяє виконувати
наближені обчислення, знаходячи при
малих
значення
функції
у точці
,
якщо відомі значення
і
.
Вправи
Знайти диференціали функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
Знайти наближене значення функції в точці , якщо:
1)
=
=0,95;
2)
=
=
3)
=
=0,15;
4)
=
=5,08;
5)
=
=3,94;
6)
=
=34;
7)
=
=3,03;
8)
=
=3,02;
9)
=
=4,01;
10)
=
=0,2.
За допомогою диференціала обчислити наближене значення:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Похідні і диференціали вищих порядків
Похідна від похідної
функції
називається похідною другого порядку
або другою похідною заданої функції
.
Аналогічно означаються похідні третього і т.д. порядків. Похідні , починаючи з другої, називаються похідними вищого порядку і позначаються
Якщо функцію задано параметрично
,
то похідна другого порядку обчислюється
за формулою
Похідна другого порядку від шляху S за часом дорівнює прискоренню (механічний зміст другої похідної):
Диференціал від диференціала
функції
називається диференціалом другого
порядку і позначається
або
Отже,
=
.
Аналогічно означаються
диференціали вищих порядків, тобто
Якщо
- незалежна змінна, то
Вправи
Знайти похідні другого порядку функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Записати формулу для похідної 5-го порядку функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Для даної функції та аргументу обчислити
:
1)
2)
3)
=0;
4)
=0;
5)
=0;
6)
=1;
7)
=2;
8)
=0;
9)
=
10)
=
Знайти
для функцій, заданих наявно рівняннями:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
