Геометричний і механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до графіків функції

Якщо функція диференційована в точці , то дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіку цієї функції в точці (геометричний зміст похідної), тобто де - кут, дотичної з додатним напрямом осі ОХ.

Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції в точці відповідно мають такий вигляд:

Якщо S=S(t) – функція, що описує закон руху матеріальної точки, то миттєва швидкість в момент часу дорівнює похідній шляху за часом (механічний зміст похідної), тобто . Прискорення а є необхідною швидкістю за часом, тобто .

Вправи

1. Написати рівняння дотичної і нормалі до параболи у точці з абсцисою

2. Обчислити довжину відрізка дотичної до кривої від точки дотику , де , до її перетину з віссю ОХ.\

3. В якій точці дотична до кривої паралельна прямій ?

4. В якій точці дотична до параболи :

   1. Паралельна прямій ;

   2. Перпендикулярна до прямої ?

5. Записати рівняння дотичної і нормалі до кривої в

точці (2;8).

6. Записати рівняння дотичної і нормалі дот кривої в точці (1;4).

7. записати рівняння до нормалі до параболи , перпендикулярної до прямої, що з’єднує точку (0;0) з вершиною параболи.

8. записати рівняння нормалі в точці (1;0) до кривої

9. знайти точку на кривій , дотична до якої паралельна прямій

10. Знайти точку на кривій , дотична в якій перпендикулярна до прямої .

11. Висячий міст має форму дуги параболи . Проліт мосту AB=80 м, стріла прольоту 5 м. Визначити кут провисання у точці А.

А В

-----------------------------------------

Х

12. Шлях S (в метрах) пройдений тілом за час t (в сек.) після початку руху, визначається за формулою . Обчислити швидкість і прискорення тіла в момент часу ?

13. Сторони b і c прямокутника змінюються за законом , . З якою швидкістю змінюються його площа і параметр в момент ?

14. Швидкість тіла, яке рухається прямолінійно, визначається за формулою . Яке прискорення має тіло через 3 с. після початку руху?

15. Махове колесо за секунд повертається на кут . Визначити кутову швидкість і прискорення W обертання. Через скільки секунд колесо зупиниться?

16. Тіло маса якого 200 кг, рухається прямолінійно за законом (в метрах). Визначити кінетичну енергію тіла через 4 с після початку руху.

17. Турист віддаляється від підніжжя скелі, висота якої 80 м, з швидкістю 6 км/год. Яка швидкість віддалення туриста віл вершини скелі в той момент, коли він знаходиться на відстані 60 м від її підніжжя?

18. По вісі ОХ рухаються матеріальні точки, закони руху яких та . З якою швидкістю ці точки віддаляються одна від другої в момент зустрічі?

19. Матеріальна точка рухається по гіперболі так, що її абсциса Х рівномірно зростає зі швидкістю 1 м/с. з якою швидкістю змінюється ордината точки, коли вона проходить положення (6;2).