8) Динамические параметры механических систем: момент инерции. Теорема Штейнера.

Момент инерции.

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x,y,z

Теорема Штейнера: момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его инерции Ic относительно параллельной оси,проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния D между осями.Момент инерции тела относительно оси вращения – это физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точекСистемы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.Момент инерции зависит от: геом. формы телаи положения оси вращения. I=∑m_ir_i² I=mr² - мат.точка I=Mr² – кольцо I=ml²/12 –стержень(ось через центр) I=ml²/3 -стержень(ось через конец) I=2mR²/5 –шар I=mR²/2 –диск или цилиндр I=1,5mR² – диск (ось через край) dA=Mdφ A=∫Mdφ – работа при вращательном движении. Момент инерций твердого тела. Момент инерций физическая величина характеризует инертное тела, т.е. способность тела сопротевляца изменению состояния покоя или равномерного вращения. Момент инерций определяется как: - применяется при дескретном распределение массы Оба выражения определяет момент инерций относ. Собст. Оси проход. Через центральную ось. Момент инерций относительно произвольной оси определяется по теореме Штеинера Твердое тело – это тело расстояние между 2-мя любыми точками которого остается неизменным при любых взаимодействиях этих точек.

9) Расчёт момента инерции кольца относительно оси, перпендикулярной кольцу и проходящей через его центр

I=Mr² – кольцо

10) Расчёт момента инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной диску и проходящей через центр его масс

I=mR²/2 –диск

11) применение теоремы Штейнера для определения момента инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через край стержня

I=ml²/3 -стержень(ось через конец

12) момент импульса как мера вращательного движения

Если имеется материальная точка массой , двигающаяся со скоростью и находящаяся в точке, описываемой радиус-вектором , то момент импульса вычисляется по формуле:

где  — знак векторного произведения.

Чтобы рассчитать момент импульса тела, его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл:

Можно переписать это через плотность ρ:

(Если считать, что ρ(x,y,z) - обобщенная функция, включающая, возможно, и дельтообразные члены, то последняя формула применима и к распределенным, и к дискретным системам).

Для систем, совершающих вращение как целое (как абсолютно твёрдое тело) вокруг одной из осей симметрии (или, более общо - вокруг так называемых главных осей инерции тела), справедливо соотношение

где — момент инерции относительно оси вращения, — вектор угловой скорости.

В общем случае вектор момента связан с вектором угловой скорости через линейный оператор момента инерции (тензор инерции):

• За начало отсчета при вычислении моментов инерции или тензора инерции в принципе может быть взята любая ось или точка, при этом будут получены разные величины, связанные друг с другом через теорему Штейнера. Однако практически по умолчанию обычно выбирается центр масс или закрепленная ось (центр), что является чаще всего и более удобным.