18) Основные уравнения электростатики. Потенциал. Связь между напряжённостью поля и потенциалом

Электростатическое поле описывается системой дифферен­циальных уравнений (1.55), которая получается из системы урав­нений Максвелла в предположении, что векторы поля не зависят от времени и отсутствует перемещение зарядов (j = 0). Аналогично находятся основные уравнения электростатики в интегральной форме:

Электростатическое поле обладает рядом специфических свойств. В частности, непосредственно из уравнений (1.55) следу­ет, что оно является потенциальным, а его векторные линии имеют истоки и стоки: они начинаются и заканчиваются на зарядах. В случае электростатического поля вектор Е можно представить в виде градиента скалярной функции и, называемой электроста­тическим потенциалом:

Соотношение (3.2) получается из формулы (2.36), если впо­следней положить dA/dt=O, а также непосредственно следует из первого уравнения системы (1.55). Оно определяет функцию и не­однозначно. Величина вектора Е не изменится, если вместо по­тенциала и ввести функцию и₁, отличающуюся от и на произволь­ную постоянную. При решении конкретных задач обычно вначале находят потенциал и, а затем вычисляют вектор Е. При этом, как правило, произвольную постоянную выбирают таким образом, что­бы, если это возможно, потенциал в бесконечно удаленных точках равнялся нулю.

Выясним физический смысл электростатического потенциала. Вычислим работуА, совершаемую при перемещении точечного заряда величины qиз точки N₁ в точку N₂ по контуру Г (рис. 3.1). Так как напряженностьЕ электрического поля определяется как сила, с которой поле действует на единичный точеч­ный положительный заряд, то

 

 

 

Знак минус в формуле (3.3) означает, что положительная работа совершается в том случае, когда заряд перемещается против сил поля. Подынтегральное выражение в формуле (3.3) можно пред­ставить в виде.

Edl=-gradu∙dl=-du.                       (3.4)

 

где du- полный дифференциал и. Второе равенство в формуле (3.4) представляет собой известное тождество векторного анализа. Для его доказательства достаточно gradи идlразложить по ортам

декартовой системы  координат  и вычислить скалярное произведение. Под­ставляя (3.4) в (3.3), получаем

A=q(u₂-u₁)                 (3.5)

где u₁и и₂ - значения потенциала и в точках N_{1 И}N₂ соответствен­но. Полагая q= 1 Кл, получаем, что работа, совершаемая при пе­ремещении единичного точечного положительного заряда в элек­тростатическом поле, численно равна разности потенциалов в ко­нечной и начальной точках пути. Она не зависит от формы пути, по которому перемещается заряд, и от абсолютного значения потен­циала. Если потенциалы бесконечно удаленных точек считать равными нулю, то потенциал и в точке N можно определить как работу, которую нужно совершить для перемещения единичного точечного положительного заряда из бесконечности в точку N. По­тенциал измеряется в вольтах, что легко устанавливается из (3.2).

Сравнивая формулы (3.3) и (3.5), находим связь между разно­стью потенциалов в точках N_{1 И}N₂ и напряженностью электроста­тического поля:

Если потенциалы бесконечно удаленных точек считаются равными нулю, то выражение (3.6) принимает вид

В (2.6) было показано, что в случае однородных сред (ε = = const) электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона (2.45). Для упрощения записи в правой части равенства (2.45) у функции ρ^ст опустим индекс "ст", т.е. перепишем (2.45) в виде

Если в рассматриваемой части пространства заряды отсутствуют (ρ = 0), то (3.7) переходит в уравнение Лапласа

Δ² и = 0.                                           (3.8)

Решение уравнения (3.7) было получено в 2.6. В тех случаях, когда заряды распределены в ограниченной области Vс плотно­стью ρ(ρ-функция координат), потенциал и в соответствии с формулой (2.44) определяется выражением

где R- расстояние от точки интегрирования M_ЄdVдо точки на­блюдения N = N (х, у, z) (см. рис.2.6).

В случае поверхностных зарядов, распределенных с плотно­стью ρ_s на поверхности S, нужно вместо равенства (3.9) использо­вать формулу

где R - расстояние от элемента dSдо точки, в которой вычисляет­ся потенциал (см. рис. 2.7).

Если поле создается заряженной нитью конечных размеров, т.е. зарядами, распределенными вдоль линии, то потенциал вы­ражается формулой

где интегрирование осуществляется вдоль нити (контур Г); R-расстояние от элемента dlдо точки, в которой вычисляется потен­циал (рис. 2.8), а τ- линейная плотность заряда, определяемая выражением

Соотношения (3.9)—(3.11) позволяют определить потенциал, а следовательно, и векторы электростатического поля в однородном изотропном пространстве по заданному распределению зарядов. Однако во многих практически важных случаях распределение за­рядов нельзя считать известным заранее. Вопрос о постановке и возможности решения такого рода задач будет рассмотрен от­дельно.

Чтобы получить наглядное представление об электростатиче­ском поле, его иногда изображают графически. При этом помимо силовых линий обычно рассматривают его эквипотенциальные по­верхности, т.е. поверхности равного потенциала. Выясним связь между поверхностями равного потенциала и силовыми линиями электростатического поля. На эквипотенциальной поверхности по­тенциал и постоянен и, следовательно, du = 0. При этом согласно соотношению (3.4) должно выполняться равенство Edl - О, где вектор дlсовпадает по направлению с касательной к экви­потенциальной поверхности. Это равенство означает, что поверх­ности равного потенциала и силовые линии электростатического поля пересекаются под прямым углом. Зная семейство экви­потенциальных поверхностей, можно построить силовые линии, и, наоборот, зная силовые линии, можно построить эквипотен­циальные поверхности.

Потенциал. Разность потенциалов. Напряжение.
Потенциал электростатического поля — скалярная величина, равная отношению потен­циальной энергии заряда в поле к этому заряду: - энергетическая характеристика поля в данной точке. Потенциал не зависит от величины заряда, помещенного в это поле.
Т.к. потенциальная энергия зависит от выбора системы координат, то и потенциал определяется с точностью до постоянной. За точку отсчета потенциала выбирают в зависимости от задачи: а) потенциал Земли, б) потенциал бесконечно удаленной точки поля, в) потенциал отрицательной пластины конденсатора.
- следствие принци­па суперпозиции полей (потенциалы складываются алгебраически).
Потенциал численно равен работе поля по перемещениюединичного положительного заряда из данной точки электрического поля в бесконечность. В СИ потенциал измеряется в вольтах:
Разность потенциалов

Для установления связи между силовой характеристикой электрического поля напряжённостью и его энергетической характеристикой потенциалом рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q: dA = q E dl, эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q: dA = dW_п =  q d ,где d - изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl. Приравнивая правые части выражений, получаем: E dld или в декартовой системе координат

E_xdx + E_ydy + E_zdz = d ,      (1.8)

где E_x,E_y,E_z- проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение (1.8) представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем

откуда

.

Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала , т. е.

E= grad =  .

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность Eнаправлена в сторону убывания потенциала.

Рассмотрим электрическое поле, создаваемое положительным точечным зарядом q (рис. 1.6). Потенциал поля в точке М, положение которой определяется радиус-вектором r, равен = q / 4₀r. Направление радиус-вектора rсовпадает с направлением вектора напряженности E, а градиент потенциала направлен в противоположную сторону. Проекция градиента на направление радиус-вектора

.

Проекция же градиента потенциала на направление вектора , перпендикулярного вектору r, равна

,

т. е. в этом направлении потенциал электрического поля является постоянной величиной ( const).

В рассмотренном случае направление вектора rсовпадает с направлением рис. 1.6

силовых линий. Обобщая полученный результат, можно утверждать, что во всех точках кривой, ортогональнойк силовым линиям, потенциал электрического поля одинаков. Геометрическим местом точек с одинаковым потенциалом является эквипотенциальная поверхность, ортогональная к силовым линиям.

рис. 1.7

При графическом изображении электрических полей часто используют эквипотенциальные поверхности. Обычно эквипотенциали проводят таким образом, чтобы разность потенциалов между любыми двумя эквипотенциальными поверхностями была одинакова. На рис. 1.7 приведена двухмерная картина электрического поля. Силовые линии показаны сплошными линиями, эквипотенциали штриховыми.

Подобное изображение позволяет сказать, в какую сторону направлен вектор напряжённости электрического поля; где напряжённость больше, где меньше; куда начнёт двигаться электрический заряд, помещённый в ту или иную точку поля. Так как все точки эквипотенциальной поверхности находятся при одинаковом потенциале, то перемещение заряда вдоль нее не требует работы. Это значит, что сила, действующая на заряд, все время перпендикулярна перемещению