2. Основной закон динамики вращательного движения.
Для тела, вращающегося вокруг оси z,
,
(45)
-
момент инерции тела относительно оси
вращения z,
-
угловое ускорение тела,
-
сумма моментов сил, приложенных к телу,
и рассчитанных относительно оси вращения,
-
индекс суммирования. Уравнение (45)
представляет собой основной
закон динамики вращательного движения.
3. Условия равновесия тел.
Из
2-го закона Ньютона
и
основного уравнения динамики вращательного
движения
следуют
условия равновесия тел: для покоящегося
тела
1) сумма действующих на тело сил должна быть равной нулю,
,
или, если использовать проекции сил, то
и
;
(46)
2) сумма моментов сил относительно любой точки тела должна быть равна нулю
.
(47)
Таблица 1. Моменты инерции некоторых тел.
|
|
|
|
4.
Момент
импульса
.
Моментом
импульса
материальной
точки
массой
,
движущейся со скоростью
,
относительно какой-либо точки отсчета
,
называют векторное произведение
,
-
радиус-вектор материальной точки
(рис.7),
-
ее импульс.
Рис.7.
Величина момента импульса материальной точки
,
(48)
где
-кратчайшее
расстояние от линии вектора
до
точки
.
Для
вращающегося
тела момент импульса
относительно
оси вращения
равен
,
(49)
-
момент инерции тела относительно оси
и
-
его угловая скорость.
Скорость изменения момента импульса системы тел равна сумме моментов сил, приложенных к этой системе
.
Тогда
.
(50)
Если моменты сил постоянны, то уравнение (50) можно записать в виде
,
(51)
т.е.
изменение момента импульса системы тел
относительно какой-либо оси
равно
сумме моментов сил, действующих на эту
систему, умноженной на время
.
Отсюда
следует закон
сохранения момента импульса:
момент
импульса
системы
тел относительно оси
сохраняется,
если сумма моментов сил
,
действующих на эту систему, равна нулю.
25) Плоское движение. Динамика движения твёрдого тела на примере маятника Максвела
Маятник Максвелла совершает плоское движение под действием трех сил: силы
тяжести mg_ и двух сил натяжения нитей T
_
2 , на которых он подвешен. Трением и
сопротивлением воздуха пренебрегаем.
Динамика поступательного движения центра масс маятника описывается
уравнением:
2T mg ma . Динамика вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс
маятника, описывается уравнением:
[r 2T] I 0. (11)
Движение маятника Максвелла происходит в вертикальной плоскости. В проекции
на вертикальную ось (положительное направление – вниз) уравнение (10) принимает вид:
mg −2T ma . (12)
В проекции на ось вращения, проходящую через центр масс маятника, уравнение
(11) записывается в виде:
0 2T r I . (13)
Если колесо маятника при движении не проскальзывает по нити, то согласно (5):
a r .
где m - масса маятника; - момент инерции маятника относительно оси, проходящей
через его центр масс; r - плечо действия силы натяжения нити (радиус оси колеса
маятника).
Полная механическая энергия маятника Максвелла представляет собой сумму
кинетической и потенциальной энергий. Если принять за начало отсчета потенциальной
энергии положение маятника в верхней точке, то по мере его опускания потенциальная
энергия становится отрицательной.
При движении маятника Максвелла от верхнего положения к основанию
происходит переход потенциальной энергии в кинетическую. Если не учитывать работу
сил сопротивления воздуха (по причине ее малости), то выполняется закон сохранениямеханической энергии: Е= const.