4) Кинематическое описание движения. Понятие степеней свободы. Уравнения движения моделей. Число степеней свободы моделей

Пусть нам известны система отсчета, начальная точка движения тела и траектория его движения. В этом случае для того, чтобы полностью описать движение тела, необходимо найти способ определения его положения на траектории в любой момент времени, т. е. установить кинематический закон движения тела. Если положение материальной точки в пространстве задается ее координатами, для описания движения необходимо найти их зависимость от времени, т. е. аналитический вид функции x(t), y(t) и z(t).Если положение материальной точки задается с помощью радиуса-вектора, для описания ее движения необходимо найти зависимость этого радиуса-вектора от времени, т. е. аналитический вид функции r(t), или же зависимость от времени вектора перемещения этой материальной точки r(t).Кинематический закон движения может быть выражен в трех формах: аналитически (в виде формулы, представляющей собой уравнение данного движения, из которого видно, как изменяются в течение времени координаты тела, его радиус-вектор или же вектор перемещения), таблично (таблицу составляют на основе формулы) и графически. Таким образом, движение тела (материальной точки) может быть полностью описано кинематически, если известны система отсчета, начальное положение движущегося тела и его перемещение в любой момент времени. Числом степеней свободы механической системы называется число независимых координат, однозначно определяющих положение всех её материальных точек. В задачах динамики положение точек системы меняется с течением времени, следовательно, координаты точек являются функциями времени. В механике, степени свободы — это совокупность независимых координат перемещения и/или вращения, полностью определяющая движение и/или положение тела или системы тел. Это фундаментальное понятие применяется в теоретической механике, теории механизмов и машин, машиностроении, авиационной промышленности, робототехнике и других областях.

5) Кинематические параметры поступательного и вращательного движений: линейные и угловые перемещения, скорости и ускорения

Поступательным движением твердого тела называется такое движе­ние, при котором любая прямая, проведенная в теле, перемещается параллельно самой себе.Приведем примеры поступательных движений: кузов автомобиля на прямолинейном участке дороги движется поступательно; движение кабин в аттракционе "Обозрение" является поступательным (рис. 2) (любая прямая в кабине во время движения остается параллельной своему первоначальному положению). Основная теорема поступательного движения. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Для доказательства обратимся к формулам (1) и (2).Так как для пос­тупательного движения , то из (1) следует, что траекто­рии точек А и В при наложении совпадают, из (2) вытекают равенства и . Так как точки А и В выбраны произвольно, то из найденных результатов следует, что у всех точек тела их траек­тории, а также скорости и ускорения в любой момент времени будут одинаковыми.Из теоремы следует, что поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки. Поэтому уравнениями поступательного движения являются уравнения любой точки С . (3)При поступательном движении тела общую для всех его точек скорость называет скоростью поступательного движения, а ускорение - ускорением поступательного движения. Векторы и можно изображать приложенными в любой точке тела. Такие понятия как скорость тела, ускорение тела имеют смысл только при пос­тупательном движении. Если скорости всех точек твердого тела равны между собой только для одного какого-либо момента, то из этого не сле­дует, что твердое тело движется поступательно. В этом случае мы будем говорить, что твердое тело в данный момент имеет мгновенную поступа­тельную скорость.

Вращательное движение. Уравнение вращательного движения

Если твердое тело движется так, что две его точки остаются неподвижными, то движение тела называется вращатель­ным, прямая АВ, проходящая через непод­вижные точки - осью вращения (рис.3). При вращательном движении траектории всех точек - окружности, плоскости ко­торых перпендикулярны к оси вращения, а центры лежат на этой оси.

Для вращательного движения рассмотрим две задачи, указанные в пункте 1.1. 

Положение твердого тела можно определить, задав координаты трех точек А, В, М, не лежащих на одной прямой. Положение точек А и В нам известно:  , ,

;

положение тела будет определено, если мы будем знать в любой момент времени положение точки М. Из трех координат этой точки независимой будет только одна, так как расстояния АМ и ВМ постоянны. Следовательно, положение твердого тела, вращающегося вок­руг неподвижной оси, определяется одним параметром. Тело имеет одну степень свободы.

Определим положение вращающегося тела следующим образом. Проведем через ось вращения Z две полуплоскости: неподвижную и подвиж­ную П, связанную с твердым телом и вращающуюся вместе с ним. Двугранный угол между этими плоскостями, отсчитываемый от неподвижной полуплоскости к подвижной П, называется углом поворота тела. Будем считать угол положительным, если он отложен от неподвижной полуплоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблю­дателя, смотрящего с положительного конца оси Z). Измеряется угол в радианах (1 рад.= 57° 17’44.88”). Угол поворота иногда выражается числом оборотов N. Тогда угол в радианах, соответствующий оборотам, определяется по формуле

. (4)

Угол определяет положение подвижной полуплоскости, а также положение всего вращающегося тела. При вращении тела угол пово­рота изменяется в зависимости от времени

. (5)

Уравнение (5) называется уравнением вращательного движения.

Угловая скорость и угловое ускорение тела при вращательном движении

Для изучения вращательного движения вводится в рассмотрение угловая скорость , характеризующая быстроту изменения угла поворота . Пусть за время тело повернулось на угол . Отношение называют средней угловой скоростью тела за промежуток времени . Предел этого отношения, когда стремится к нулю, называют угловой скоростью тела в данный момент времени. Обозначая ее через , получаем

, . (6)

Таким образом, угловая скорость тела в данный момент равна первой производной от угла поворота тела по времени.

Угловая скорость может быть как положительной, так и отрицатель­ной. Знак определяет направление вращения тела: , если угол возрастает, т.е. тело вращается против хода часовой стрелки, , если убывает, т.е. тeлo вращается по ходу часовой стрелки.

В общем случае угловая скорость зависит от времени , и для определения быстроты изменения угловой скорости с течением времени, вводится понятие углового ускорения :

. (7)

Угловое ускорение может быть как положительным, так и отрицатель­ным. Если возрастает, то , если убывает, то . Если модуль углового ускорения с течением времени возрастает, то враще­ние тела называется ускоренным, а если убывает - замедленным. При этом, если знаки и совпадают, то вращение тела - ус­коренное, если не совпадает - замедленное.

Вращение называется равномерным, если , . Если в данный момент, то это означает, что имеет экстремум в этот момент времени. Если , то вращение называется равнопеременным.

В технике угловую скорость равномерного вращения обычно характери­зуют числом оборотов в минуту и обозначают эту величину через

, . (8)

Легко показать, что законы равномерного и равнопе­ременного вращательного движения записываются в виде

; (9)

, (10)

где - соответственно начальный угол поворота и начальная угловая скорость тела.

Угловая скорость равномерного вращательного движения изменяется по закону

. (11)

Угловую скорость тела можно также изобразить в виде вектора , где - единичный вектор оси вращения; . Вектор направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.3). Такой вектор сразу определяет и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.

Угловое ускорение тела можно также изобразить в виде вектора, направленного по оси вращения. При этом направление вектора совпадает с направлением вектора , если тело вращается ускоренно и противоположно вектору при замедленном вращении. На рис. 3 показаны векторы и в случае ускоренного вращательного движения.

Угловую скорость и угловое ускорение часто изображают круговыми стрелками.

Круговая стрелка для угловой скорости показывает направление вращения, круговая стрелка для углового ускорения - знак приращения алгебраической величины угловой скорости.