6) Определение потока вектора напряжённости электростатического поля.

Величина называется потоком вектора напряженности через площадку dS. Здесь dS = dSn — вектор, у которого модуль равен dS, а направление совпадает с направлением нормали n к площадке. Выбор направления вектора n (а следовательно, и db>S) условен, так как его можно направить в любую сторону. Единица потока вектора напряженности электростатического поля — 1 В•м. Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Е сквозь данную поверхность (3)

Рис.4

где интеграл мы берем по замкнутой поверхности S. Поток вектора Е является алгебраической величиной: зависит не только от свойств поля Е, но и от выбора направления n. Для замкнутых поверхностей положительным направлением нормали считается внешняя нормаль, т. е. нормаль, которая направлена наружу области, охватываемой поверхностью.

7) Теорема Острограского-Гауса.

Эта теорема позволяет найти поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность, внутри которой находятся электрические заряды.

Пусть вначале один точечный заряд q помещён в центр сферы произвольного радиуса r₁ (рис. 3). Тогда ; . Вычислим полный поток индукции проходящий через всю поверхность этой сферы: ; ( ). Если возьмём сферу радиуса , то также Ф = q. Если проведём сферу , не охватывающую заряд q, то полный поток Ф = 0 (так как каждая линия войдёт в поверхность, а другой раз выйдет из неё).

Таким образом, Ф = q, если заряд расположен внутри замкнутой поверхности и Ф = 0, если заряд расположен вне замкнутой поверхности. Поток Ф от формы поверхности не зависит. Он также не зависит от расположения зарядов внутри поверхности. Это значит, что полученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для какого угодно числа произвольно расположенных зарядов, если только подразумевать под q алгебраическую сумму всех зарядов, находящихся внутри поверхности.

Теорема Гаусса: поток электрической индукции через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, находящихся внутри поверхности: .

Из формулы видно, что размерность электрического потока такая же, как и электрического заряда. Поэтому единицей потока электрической индукции служит кулон (Кл).

Примечание: если поле неоднородно и поверхность, через которую определяют поток, не является плоскостью, то эту поверхность можно разбить на бесконечно малые элементы ds и каждый элемент считать плоским, а поле возле него однородным. Поэтому для любого электрического поля поток вектора электрической индукции через элемент поверхности есть: dФ = . В результате интегрирования полный поток через замкнутую поверхность S в любом неоднородном электрическом поле равен: , где q – алгебраическая сумма всех зарядов, окружённых замкнутой поверхностью S. Выразим последнее уравнение через напряжённость электрического поля (для вакуума): .

Это одно из фундаментальных уравнений Максвелла для электромагнитного поля, записанное в интегральной форме. Оно показывает, что источником постоянного во времени электрического поля являются неподвижные электрические заряды.