5) Электростатическое поле системы зарядов. Принцип суперпозиции. Поле электрического диполя

Электростатическое поле, электрическое поле неподвижных электрических зарядов, осуществляющее взаимодействие между ними. Как и переменное электрическое поле, Э. п. характеризуется напряжённостью электрического поля Е: отношением силы, действующей на заряд, к величине заряда. Силовые линии напряжённости Э. п. не замкнуты: они начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных. В диэлектриках Э. п. характеризуется вектором электрической индукции D (см. Индукция электрическая и магнитная). Вектор О удовлетворяет Гаусса теореме. Э. п. потенциально, т. е. работа этого поля по перемещению электрического заряда между двумя точками не зависит от формы траектории: на замкнутом пути она равна нулю. Вследствие потенциальности Э. п. его можно характеризовать одной скалярной функцией — электростатическим потенциалом j, связанным с вектором Е соотношением Е= —grad j. Потенциал jудовлетворяет Пуассона уравнению. В однородном диэлектрике Э. п. вследствие поляризации диэлектрика убывает в e раз, где e — диэлектрическая проницаемость. Внутри проводников Э. п. равно нулю; все точки поверхности проводника имеют один и тот же потенциал j. Если в проводнике есть полость, то Э. п. в ней также равно нулю; на этом основана электростатическая защита электрических приборов.

Суперпозиции принцип, принцип наложения, 1) допущение, согласно которому если составляющие сложного процесса воздействия взаимно не влияют друг на друга, то результирующий эффект будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности. С. п. строго применим к системам, поведение которых описывается линейными соотношениями (так называемые линейные системы). Например, если среда, в которой распространяется волна 5 линейна, то есть её свойства не меняются под действием возмущений, создаваемых волной, то все эффекты, вызываемые негармонической волной, могут быть определены как сумма эффектов, создаваемых каждой из её гармонических составляющих: S = S₁ +   + S₂ + S₃ + ...

С. п. играет исключительную роль в механике (например, векторное сложение по правилу параллелограмма), в теории колебаний, теории цепей, квантовой механике и других разделах физики и техники. 2) В теории классических полей и квантовой теории — положение, согласно которому суперпозиция (то есть результат суммирования, наложения друг на друга) любых допустимых в данных условиях состояний физической системы (или возможных процессов в ней) является также допустимым состоянием (или соответственно возможным процессом). Так, классическое электромагнитное поле в вакууме удовлетворяет С.п.: сумма любого числа физически реализуемых полей есть тоже физически реализуемое электромагнитное поле. В силу С.п. электромагнитное поле, созданное совокупностью электрических зарядов и токов, равно сумме полей, создаваемых этими зарядами и токами по отдельности. Слабое гравитационное поле также с хорошей точностью подчиняется С. п.

В классической физике С. п. — приближённый принцип, вытекающий из линейности уравнений движения соответствующих систем (что обычно является хорошим приближением для описания реальных систем), например Максвелла уравнений дляэлектромагнитного поля. Таким образом, он вытекает из более глубоких динамических принципов и поэтому не является фундаментальным. Он и не универсален. Так, достаточно сильное гравитационное поле не удовлетворяет С. п., поскольку оно описывается нелинейными уравнениями Эйнштейна (см. Тяготение); макроскопическое электромагнитное поле в веществе, строго говоря, также не подчиняется С. п. в силу зависимости (иногда существенной) диэлектрической и магнитной проницаемостей от внешнего поля (например, в ферромагнетике) и т. д.

В квантовой механике С. п. — фундаментальный принцип, один из основных её постулатов, определяющий вместе с неопределённостей соотношением структуру математического аппарата теории. Из С. п. следует, например, что состояния квантовомеханической системы должны изображаться векторами линейного пространства (см. Квантовая механика), в частности волновыми функциями; что операторы физических величин должны быть линейными и т. д. С. п. утверждает, что если квантовомеханическая система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями y₁,y₂,...,y_n, то физически допустимой будет и суперпозиция этих состояний, то есть состояние, изображаемое волновой функцией

y = c₁y₁ + c₂y₂ + . . . + с_ny_n,

где c₁, c₂,..., c_n  — произвольные комплексные числа.

Из С. п. следует, что любая волновая функция может быть разложена в сумму (вообще говоря, бесконечную) собственных функций оператора любой физической величины; при этом квадраты модулей коэффициентов в разложении имеют смысл вероятностей обнаружить на опыте соответствующие значения этой величины. Суперпозиция состояний y_i определяется, однако, не только модулями коэффициентов c_i, но и их относительными фазами (при различных относительных фазах чисел с_i, результирующие состояния оказываются различными). Поэтому суперпозиция y = å_i c_i y_i является результатом интерференции состояний y_i (см., например, Дифракция частиц). Квантовый С. п. лишён наглядности, характерной для С. п. в классической физике, так как в квантовой теории в суперпозиции участвуют (складываются) альтернативные, с классической точки зрения взаимоисключающие друг друга состояния. С. п. отражает волновую природу микрочастиц и выполняется в нерелятивистской квантовой механике без исключений.

В релятивистской квантовой теории, рассматривающей процессы, в которых могут происходить взаимопревращения частиц, С. п. должен быть дополнен так называемыми правилами суперотбора. Так, суперпозиции состояний с разными значениями электрического, барионного, лептонного зарядов не предполагаются физически реализуемыми. Реализуемость таких суперпозиций означала бы, например, что физические свойства пучка частиц, в котором в некоторой пропорции присутствуют электроны и позитроны, не определяются однозначно динамическими характеристиками этих частиц, то есть что возможна интерференция состояний с разными значениями зарядов. Однако такая интерференция никогда не наблюдалась на опыте. Поэтому операторы физических величин не должны менять заряды. Это уточнение С. п. в релятивистской квантовой теории накладывает на матричные элементы операторов определённые ограничения, которые и называют правилами суперотбора.

Электрический диполь создает вокруг себя электрическое поле, которое нетрудно рассчитать с использованием принципа суперпозиции. Однако на расстояниях, значительно превышающих размер диполя, электростатическое поле обладает некоторыми характерными свойствами, представляющими интерес для дальнейшего изложения предмета.

Рис. 2.2. Поле электрического диполя

      Рассмотрим физическую ситуацию, изображенную на рис. 2.2. Здесь - точка наблюдения, и - векторы, проведенные из точек расположения соответствующих зарядов в точку наблюдения, вектор описан выше.

      Рассчитаем значение потенциала электростатического поля в точке наблюдения в предположении, что потенциал бесконечно удаленной точки пространства равен нулю и . Ниже под величинами будем понимать модули соответствующих векторов. Точное выражение для потенциала в точке имеет вид:

     

.

(2.2)

     Векторы и связанны между собой зависимостью

     

,

(2.3)

     что позволяет переписать выражение (2.2) в форме:

     

.

(2.4)

     В полученном выражении опустим член как малую величину и опустим индекс "+" у модуля соответствующего вектора:

     

     С учетом обозначения (2.1) получаем:

     

,

(2.5)

     где - угол между вектором и направлением на точку наблюдения . Заметим, что если сравнивать между собой потенциал поля точечного заряда и потенциал поля диполя, легко увидеть, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием быстрее, чем потенциал поля точечного заряда.

      Напряженность электростатического поля в точке наблюдения можно было бы вычислить, используя зависимость , но вычисление градиента скалярного произведения требует привлечения довольно громоздкой формулы векторного анализа, поэтому используем прямое вычисление:

     

.

(2.6)

     Аналогично предыдущему воспользуемся тем обстоятельством, что :

     

     Упрощение последнего выражения с учетом малости приводит к соотношению:

     

(2.7)

     где , имеет то же значение, что и выше. Если ограничиться направлением, перпендикулярным направлению дипольного момента ( ), то становится очевидным, что величина напряженности электрического поля диполя в дальней зоне убывает с расстоянием быстрее, чем убывает величина напряженности поля, образованного одиночным точечным зарядом.