- •I курс, I Семестр.
- •Содержание: Вопрос № 1 Понятие «Множества»:
- •Операции над множествами:
- •Числовая прямая:
- •Ограниченность числового множества:
- •Теорем о существовании точных верхней и нижней граней:
- •Некоторые характеристики Rn:
- •Вопрос № 3 Понятие функции, как отображения:
- •Классификация функций:
- •Вопрос № 4 Числовая последовательность:
- •Критерий Коши сходимости последовательности:
- •Вопрос № 5 Теорема о единственности предела последовательности:
- •Вопрос № 6 Теорема об ограниченности сходящейся последовательности:
- •Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена:
- •Вопрос № 7 Монотонные последовательности:
- •Вопрос № 8 Бесконечно малые последовательности и их свойства:
- •Свойства бесконечно большой последовательности:
- •Вопрос № 12 Предел функции:
- •Свойства непрерывных функций:
- •Вопрос № 18: Понятие сложной функции:
- •Вопрос № 19: Классификация точек разрыва:
- •Вопрос № 32: Экстремумы:
- •Локальные экстремумы:
- •Необходимое условие экстремума:
- •Достаточное условие экстремума:
- •Достаточное условие экстремума:
- •Вопрос № 34: Направление выпуклости графика функции:
- •Достаточное условие выпуклости графика функции:
- •Вопрос № 35: Точки перегиба графика функции:
- •Необходимое условие точки перегиба:
- •Общий случай:
- •Вопрос № 36: Асимптоты графика функции:
- •Вопрос № 37: Понятие п-мерной точки, п-мерного пространства:
- •Вопрос № 38: Частные производные:
- •Дифференцирование функции многих переменных:
- •Понятие частных дифференциалов:
- •Геометрический смысл частных производных:
- •Вопрос № 39: Дифференцируемость функции
- •Необходимые условия дифференцирования:
- •Достаточные условия дифференцирования:
- •Вопрос № 40: Производная по направлению:
- •Вопрос № 43: Понятие о функциях, заданных неявно:
- •Касательная и нормаль к поверхности:
- •Вопрос № 44: Частные производные высших порядков:
- •Необходимое условие существования экстремума:
- •Вопрос № 46: Первообразная:
- •Теорема о среднем:
- •Вопрос № 54: Определённый интеграл с переменным верхним пределом:
- •Свойства.
- •Свойства.
Вопрос № 38: Частные производные:
Частные производные.
Геометрическая интерпретация при п=2.
Дифференцирование функции многих переменных:
Для всех задана скалярная функция , или скалярное поле.
При п=2 определена в пространстве некоторая поверхность.
Понятие частных дифференциалов:
определена в окрестности точки Придадим приращение х, тогда функция получит частное приращение:
Определение: Придел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю – если он существует – называется частной производной функции по переменной х в точке и обозначается:
Из определения следует, что отыскание частных производных – есть дифференцирование функции , как функции одной переменной. По этом правила дифференцирования, а также таблица производных сохраняется.
Геометрический смысл частных производных:
– плоскость, параллельная горизонтальной плоскости.
, то есть значение – есть тангенс угла наклона касательной, проведенной к линии пересечения поверхности и плоскости , в точке, где .
Вопрос № 39: Дифференцируемость функции
Дифференцируемость функции .
Необходимые и достаточные условия дифференцируемости.
Рассмотрим , определённую в точке .
дифференцируема в , если её полное приращение представимо в виде
А,В,С – не зависят от приращений аргументов, а
Необходимые условия дифференцирования:
Пусть дифференцируема в точке :
непрерывна в .
Существуют частные производные по всем переменным.
Доказательство:
Из ( ) следует: при приращениях всех переменных, стремящихся к нулю, величина приращения функции тоже стремится к нулю.
Докажем, что частная производная по х равна А: Возьмём все приращения, кроме приращения по х, равными нулю, тогда: при получим: Аналогично доказываются и остальные частные производные.
Достаточные условия дифференцирования:
Если имеет в точке непрерывные частные производные, то полное приращение будет представлено в виде:
Вопрос № 40: Производная по направлению:
Производная по направлению.
Градиент скалярного поля.
Связь с производной по направлению.
Если функция дифференцируема в точке , то существует производная по направлению .
Согласно Формуле вычисления скалярного произведения градиент запишется следующим образом:
Если
В направлении градиента
Пусть множество точек, где и точка принадлежат этому множеству. В окрестности точки М0 существуют частные производные . Следовательно для всех в0 больших нуля прямоугольный треугольник: . Существует пирамида: , пересекающая треугольник. ***
Вопрос № 41: Дифференциал f(M), M принадлежит Rn:
Дифференциал f(M), M принадлежит Rn.
Линеаризация функции.
Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.
Дифференциал функции:
Дифференциалом функции является главное линейное отношение приращений переменных, как часть полного приращения дифференцированной функции, то есть .
Формула для вычисления дифференциала: .
При п=2, то есть
Производные второго порядка для функций п-переменных:
Производной второго порядка функции п-переменных называется производная от производной п-1-ого порядка по каждой из переменных.
Линеаризация функции:
При малы приращениях из следует, что
Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных:
Дифференциал функции двух переменных – это приращение аппликаты касательной плоскости, при переходе от точки на касательной плоскости в точку .
Вопрос № 42: Производная сложной функции многих переменных:
Производная сложной функции многих переменных.
Полная производная.
Дифференцирование сложной функции:
Пусть , где , где множество значений принадлежит области определения функции, тогда: – сложная функция одной переменной t, тогда: если дифференцируемы в точке t, а дифференцируема, соответственно, в точке , то и дифференцируема по t, и существует дифференциал: – эта производная называется полной производной.
Пусть , где , пусть дифференцируемы в точке , а дифференцируема, соответственно, в точке , тогда функция дифференцируема как и существует дифференциал