Вопрос № 34: Направление выпуклости графика функции:

1. Направление выпуклости графика функции.

2. Достаточное условие.

Пусть функция задана на интервале.

График функции считается выпуклым вверх, если все точки данного интервала лежат ниже касательной.

График функции считается выпуклым вниз, если все точки данного промежутка лежат выше касательной.

Точка перегиба – это точка, принадлежащая графику функции, в которой происходит смена направления выпуклости. Происходит смена знака второй производной.

Достаточное условие выпуклости графика функции:

Функция на интервале имеет конечную производную второго порядка. Если вторая производная больше нуля, то график выпукл вниз, иначе вверх. Если вторая производная равна нулю, то данная точка – точка перегиба.

Вопрос № 35: Точки перегиба графика функции:

1. Точки перегиба графика функции.

2. Необходимое условие точки перегиба.

3. Достаточное условие точки перегиба.

Необходимое условие точки перегиба:

Пусть значение второй производной в точке не равно нулю, то в силу непрерывности, вторая производная сохраняет свой знак следовательно учитывая теорему о существовании выпуклости графика функции, в окрестности точки не меняется направление выпуклости функции, что противоречит условию…

Если значение второй производной равно нулю, то это критическая точка второй производной, и в ней возможен перегиб. Эти точки исследуются при помощи достаточного условия.

Пусть для функции существует вторая производная в окрестности точки, и она равна нулю, если слева и справа от точки у второй производной разные знаки, следовательно, точка является точкой перегиба, иначе перегиба нет.

Общий случай:

Для функции существует вторая производная в окрестности точки, за исключением, быть может, самой точки. Функция непрерывна, и существует касательная в данной точке, хотя бы параллельная оси ординат. Если слева и справа знаки второй производной разные, то данная точка является точкой перегиба, иначе нет.

Вопрос № 36: Асимптоты графика функции:

1. Асимптоты графика функции.

2. Схема построения графика.

Прямая является асимптотой, если при стремлении одной из хорд к бесконечности расстояние между точками графика и этой прямой стремится к нулю.

Асимптоты делятся на:

• Вертикальные

• Наклонные

– вертикальный асимптот функции, если правый или левый предел равен бесконечности.

– наклонный асимптот. Коэффициент наклона определяется, как предел отношения функции к аргументу, при стремлении последнего к плюс бесконечности (правый асимптот). Смещение определяется, как предел разности функции и произведения коэффициента наклона на аргумент, при стремлении последнего к плюс бесконечности (правый асимптот).

Схема построения графика функции:

0. Определить область определения и область значения функции.

1. Найти пересечения графика функции с осями (нули функции).

2. Определить чётность/нечётность функции.

3. Найти экстремумы, промежутки возрастания/убывания функции.

4. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба.

5. Найти асимптоты.

На основе 4,5 – ого пунктов заполнить таблицу.

Вопрос № 37: Понятие п-мерной точки, п-мерного пространства:

1. Понятие п-мерной точки.

2. Понятие п-мерного пространства.

3. Открытые и замкнутые множества.

4. Область в Rⁿ.

5. Связность.

6. Понятие функции многих вещественных переменных.

7. Линии уровня.

8. Поверхности уровня.

Функция – множество точек , где .

При выполнении условия о существовании неявно заданной функции, это множество точек обозначается поверхностью и называется поверхностью уровня для функции . Заметим, что вектор градиента функции перпендикулярен поверхности в любой её точке.

Если функция задана , то существуют её непрерывные частные производные, при условии существования неявной функции, линию называют линией уровня для функции. Вектор градиента функции перпендикулярен линии уровня в любой её точке.

*********