Вопрос № 32: Экстремумы:

1. Экстремумы.

2. Необходимое условие существования.

3. Достаточные условия существования.

Локальные экстремумы:

Пусть функция определена в окрестности точки с.

Функция имеет локальный максимум в точке, если существует такая её окрестность, в которой значение функции будет меньше, чем значение функции в этой точке, и локальный минимум в обратном случае.

Необходимое условие экстремума:

Если функция дифференцируема в точке, и имеет в этой точке локальный экстремум, то первая производная этой функции равна нулю.

Доказательство: пусть первая производная не равна нулю, тогда: Если первая производная больше нуля, то функция возрастает; Если первая производная меньше нуля, то функция убывает; Противоречие показывает, что первая производная не может быть отлична от нуля.

Решая уравнение получаем так называемую критическую точку первой производной, а так же точку возможного экстремума.

Достаточное условие экстремума:

Пусть функция дифференцируема в окрестности точки, а так же первая производная от функции в этой точке равна нулю, тогда: Если для , то функция в точке имеет локальный максимум; Если для ,о функция в точке имеет локальный минимум. Если первая производная функции в окрестности точки сохраняет свой знак, то в этой точке нет экстремума.

Достаточное условие экстремума:

Если функция дифференцируема в точке, и имеет конечную вторую производную, то: Если вторая производная меньше нуля, то функция максимальна в точке; Если вторая производная больше нуля, то функция имеет минимум. при первой производной, равной нулю.

Доказательство: На основании определения возрастания и убывания функции, из условия, что вторая производная меньше нуля, следует, что функция минимальна в точке, так как первая производная равна нулю, то: Аналогично и вторая производная равна нулю.

Критические точки первой производной – это такие точки, в которых первая производная либо не существует, либо бесконечна.

Общее достаточное условие существования экстремума:

Функция определена в точке, непрерывна и дифференцируема в её окрестности, быть может за исключением самой точки.

Если для , для , то у функции существует локальный максимум.

Если для , для , то у функции существует локальный минимум.

Если в окрестности точки функция сохраняет свой знак, то экстремум отсутствует.

Вопрос № 33: Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

1. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

2. Теорема Вейерштрасса.

3. Способы отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Теорема Вейерштрасса:

Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает своего максимального м минимального значения на нём, то есть существует такая пара точек, значение функции в которых принимает максимальное и минимальное значение.

Минимальное и максимальное значение достигается либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Способы отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти точки локальных экстремумов и отобрать те из них, которые принадлежат отрезку. Вычислить и сравнить значения функции в этих точках. Затем выбрать из них минимальные и максимальные.

Замечание: Если на отрезке существует только один экстремум, то в этой точке и достигается максимальное или минимальное значение функции.