- •I курс, I Семестр.
- •Содержание: Вопрос № 1 Понятие «Множества»:
- •Операции над множествами:
- •Числовая прямая:
- •Ограниченность числового множества:
- •Теорем о существовании точных верхней и нижней граней:
- •Некоторые характеристики Rn:
- •Вопрос № 3 Понятие функции, как отображения:
- •Классификация функций:
- •Вопрос № 4 Числовая последовательность:
- •Критерий Коши сходимости последовательности:
- •Вопрос № 5 Теорема о единственности предела последовательности:
- •Вопрос № 6 Теорема об ограниченности сходящейся последовательности:
- •Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена:
- •Вопрос № 7 Монотонные последовательности:
- •Вопрос № 8 Бесконечно малые последовательности и их свойства:
- •Свойства бесконечно большой последовательности:
- •Вопрос № 12 Предел функции:
- •Свойства непрерывных функций:
- •Вопрос № 18: Понятие сложной функции:
- •Вопрос № 19: Классификация точек разрыва:
- •Вопрос № 32: Экстремумы:
- •Локальные экстремумы:
- •Необходимое условие экстремума:
- •Достаточное условие экстремума:
- •Достаточное условие экстремума:
- •Вопрос № 34: Направление выпуклости графика функции:
- •Достаточное условие выпуклости графика функции:
- •Вопрос № 35: Точки перегиба графика функции:
- •Необходимое условие точки перегиба:
- •Общий случай:
- •Вопрос № 36: Асимптоты графика функции:
- •Вопрос № 37: Понятие п-мерной точки, п-мерного пространства:
- •Вопрос № 38: Частные производные:
- •Дифференцирование функции многих переменных:
- •Понятие частных дифференциалов:
- •Геометрический смысл частных производных:
- •Вопрос № 39: Дифференцируемость функции
- •Необходимые условия дифференцирования:
- •Достаточные условия дифференцирования:
- •Вопрос № 40: Производная по направлению:
- •Вопрос № 43: Понятие о функциях, заданных неявно:
- •Касательная и нормаль к поверхности:
- •Вопрос № 44: Частные производные высших порядков:
- •Необходимое условие существования экстремума:
- •Вопрос № 46: Первообразная:
- •Теорема о среднем:
- •Вопрос № 54: Определённый интеграл с переменным верхним пределом:
- •Свойства.
- •Свойства.
Московский Авиационный Институт
Лекции по
Мат. анализу
I курс, I Семестр.
Москва
2002г.
Содержание: Вопрос № 1 Понятие «Множества»:
-
Пустое множество.
-
Подмножества.
-
Круги Эйлера.
-
-
Операции над множествами.
-
Свойства.
-
Понятие соответствия.
-
Эквивалентность множеств.
-
Множество:
-
Конечное.
-
Счётное.
-
Мощности континуума.
-
Множество – не имеет точного определения. Множества определяются, как совокупность некоторых объектов, мыслимых, как единое целое.
Объекты определяются по характерному признаку и называются элементами множества.
Сами множества могут быть элементами другого множества.
Обозначения:
-
Множества: А, В, …, X, Y, Z.
-
Элементы: а, в, …, x, y, z.
-
Принадлежность: ε.
-
Пустое множество: Ø.
Пустое множество – это такое множество, в котором нет элементов.
Множество А называют подмножеством В если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.
– операция включения.
Иллюстрация действий с множествами осуществляется с помощью кругов Эйлера.
Операция включения обладает свойством аддитивности, то есть если и ,то .
Множество А называется равным множеству В, если .
Операции над множествами:
-
Пересечение: если оно состоит из элементов, входящих в оба этих множества. . Свойства:
-
Коммутативность, или перестановочность.
-
Пересечение любого множества с пустым даёт пустое множество.
-
-
Если ,то .
-
-
Объединение: , если оно состоит из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств, при этом общие элементы учитываются только один раз. Свойства:
-
Коммутативность.
-
Объединение с пустым множеством даёт само множество.
-
Объединение с самим собой даёт исходное множество.
-
Если , то .
-
-
Соответствие между множествами: Между А и В существует правило, по которому по элементу из множества А можно найти элемент из множества В. Соответствие называют взаимнооднозначным, если для любого элемента из множества А можно найти единственный элемент из множества В, и наоборот, так что .
Дадим следующие определения:
-
А – называется конечным, если оно содержит конечное число элементов.
-
А и В – называют эквивалентными, если между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие.
-
А – называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.
-
А – называется мощности континуума, если оно эквивалентно интервалу от нуля, до единицы.
Вопрос № 2 Множество вещественных чисел:
-
Числовая прямая.
-
Метрика.
-
Ограниченность множества.
-
Теорем о существовании точных верхней и нижней граней.
Множеством вещественных чисел называется множеств, состоящие из разнообразных бесконечных десятичных дробей.
Множество, состоящие из периодических дробей – множество рациональных чисел.
Множество рациональных чисел состоит из бесконечных десятичных не периодических дробей.
Числовая прямая:
Ставя каждой точке М длину единичного отрезка ОМ со знаком «+», если М и Е лежат по одну сторону, и «-», если по разные, мы получаем взаимнооднозначное соответствие между точками прямой, как геометрическими объектами, и вещественными числами.
х – координата точки М, а саму координатную прямую – координатным пространством.
Введём на координатной прямой метрику, то есть понятие расстояния ρ между М1 и М2, где М1(х1), М1(х2). По формуле
После введения метрики пространство называют эвклидовым координатным пространством, и обозначают R.
-
Любой интервал, содержащий точку М называют её окрестностью.
-
Для всех М(х) называют ε-окрестностью точки М