Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лекции мат ан 1 сем.doc
Скачиваний:
8
Добавлен:
20.12.2018
Размер:
1.28 Mб
Скачать

Московский Авиационный Институт

Лекции по

Мат. анализу

I курс, I Семестр.

Москва

2002г.

Содержание: Вопрос № 1 Понятие «Множества»:

  1. Пустое множество.

  2. Подмножества.

    1. Круги Эйлера.

  3. Операции над множествами.

  4. Свойства.

  5. Понятие соответствия.

  6. Эквивалентность множеств.

  7. Множество:

    1. Конечное.

    2. Счётное.

    3. Мощности континуума.

Множество – не имеет точного определения. Множества определяются, как совокупность некоторых объектов, мыслимых, как единое целое.

Объекты определяются по характерному признаку и называются элементами множества.

Сами множества могут быть элементами другого множества.

Обозначения:

  • Множества: А, В, …, X, Y, Z.

  • Элементы: а, в, …, x, y, z.

  • Принадлежность: ε.

  • Пустое множество: Ø.

Пустое множество – это такое множество, в котором нет элементов.

Множество А называют подмножеством В если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

– операция включения.

Иллюстрация действий с множествами осуществляется с помощью кругов Эйлера.

Операция включения обладает свойством аддитивности, то есть если и ,то .

Множество А называется равным множеству В, если .

Операции над множествами:

  1. Пересечение: если оно состоит из элементов, входящих в оба этих множества. . Свойства:

    1. Коммутативность, или перестановочность.

    2. Пересечение любого множества с пустым даёт пустое множество.

    3. Если ,то .

  2. Объединение: , если оно состоит из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств, при этом общие элементы учитываются только один раз. Свойства:

    1. Коммутативность.

    2. Объединение с пустым множеством даёт само множество.

    3. Объединение с самим собой даёт исходное множество.

    4. Если , то .

  3. Соответствие между множествами: Между А и В существует правило, по которому по элементу из множества А можно найти элемент из множества В. Соответствие называют взаимнооднозначным, если для любого элемента из множества А можно найти единственный элемент из множества В, и наоборот, так что .

Дадим следующие определения:

  1. А – называется конечным, если оно содержит конечное число элементов.

  2. А и В – называют эквивалентными, если между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие.

  3. А – называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

  4. А – называется мощности континуума, если оно эквивалентно интервалу от нуля, до единицы.

Вопрос № 2 Множество вещественных чисел:

  1. Числовая прямая.

  2. Метрика.

  3. Ограниченность множества.

  4. Теорем о существовании точных верхней и нижней граней.

Множеством вещественных чисел называется множеств, состоящие из разнообразных бесконечных десятичных дробей.

Множество, состоящие из периодических дробей – множество рациональных чисел.

Множество рациональных чисел состоит из бесконечных десятичных не периодических дробей.

Числовая прямая:

Ставя каждой точке М длину единичного отрезка ОМ со знаком «+», если М и Е лежат по одну сторону, и «-», если по разные, мы получаем взаимнооднозначное соответствие между точками прямой, как геометрическими объектами, и вещественными числами.

х – координата точки М, а саму координатную прямую – координатным пространством.

Введём на координатной прямой метрику, то есть понятие расстояния ρ между М1 и М2, где М11), М12). По формуле

После введения метрики пространство называют эвклидовым координатным пространством, и обозначают R.

  1. Любой интервал, содержащий точку М называют её окрестностью.

  2. Для всех М(х) называют ε-окрестностью точки М