Теорема о среднем:

Функция интегрируема на отрезке.

Доказательство:

Следствие:

Если функция непрерывна на отрезке, то существует ξ из отрезка, для которой , тогда – среднее значение функции на отрезке.

Вопрос № 54: Определённый интеграл с переменным верхним пределом:

1. Определённый интеграл с переменным верхним пределом.

2. Свойства.

3. Доказательство формулы Ньютона-Лейбница.

Пусть функция интегрируема на отрезке, фиксируем точку С из отрезка. Для всех х функция интегрируема на отрезке , тогда на отрезке определена функция – это интеграл с переменным верхним пределом.

Если функция непрерывна на отрезке, то для неё существует первообразная на этом отрезке, одной из первообразных является функция , следовательно:

1. 

2. Функция непрерывна на отрезке .

Заметим, что в выражении точка С – любая точка из отрезка.

Основная формула интегрального исчисления:

Было доказано, что две любые первообразные от функции отличаются на константу, тогда любую первообразную для функции можно представить в виде: , вычислив

Вопрос № 55: Интегрирование по частям и замени переменной в определённом интеграле:

Замена переменной в определённом интеграле:

Замена переменной в определённом интеграле производится так же, как и в неопределённом, только необходимо пересчитать пределы интегрирования, подставив их в подстановочную формулу.

Интегрирование по частям в определённом интеграле:

Для на отрезке существуют непрерывные производные, тогда

Доказательство:

Вопрос № 56: Приложение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур и длин дуг:

Площадь плоской фигуры:

Функция неотрицательна на отрезке, тогда из геометрического смысла определённого интеграла следует, что площадь, вычисляется по формуле .

Пусть функция задана параметрически, неотрицательна на отрезке, и существуют и непрерывны первые производные , то площадь такой фигуры –

Площадь криволинейного сектора:

Длинна дуги:

, производные непрерывны на отрезке, тогда кривая спрямляема, и её длинна

, производная функции непрерывна на отрезке, тогда кривая спрямляема, и её длинна

Пусть прямая задана в полярной системе координат, производная функции непрерывна на заданном отрезке, тогда кривая спрямляема, и её длинна

Длинна дуги пространственной прямой: – непрерывны на отрезке, тогда кривая спрямляема, и её длинна

Вопрос № 57: Вычисление площадей поверхностей тел вращения:

1. Вычисление площадей поверхностей тел вращения.

2. Вычисление объёмов тел вращения.

3. Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям.

Объём тел вращения:

При вращении криволинейной трапеции вокруг оси Х и вокруг оси У получаются различные объёмы.

Пусть функция неотрицательна на отрезке, и непрерывна на нём, тогда объёмы

Более общий случай:

Пусть заданы две функции, причём одна больше, либо равна другой, и обе неотрицательны на отрезке, тогда Пусть заданы две функции, причём одна больше, либо равна другой, отрезок лежит, целиком, правее от начала отсчёта, тогда

В параметрическом виде:

Объём тела с известной площадью поперечного сечения:

Пусть некоторое ограниченное тело лежит над отрезком оси ОХ. При произвольном х из отрезка рассечём тело перпендикулярно оси.

– площадь сечения, если она непрерывна на отрезке, то объём можно найти по формуле:

Площадь поверхности вращения:

При вращении криволинейной трапеции вокруг оси, она описывает поверхность, площадь которой:

1. 

2. 

3. 

Вопрос № 58: Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования: