Вопрос 16: Понятие неявной функции. Сложная и обратная функции. Понятие неявной функции

Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной.

Например,                       y = x² –явная функция.–явная функция

Функция у аргумента называется неявной, если она задана уравнением

                                                                   F (x, y)=0,                                                          (2-1)

 не разрешенным, относительно зависимой переменной.

x²+y² =1– неявная функция.

Чтобы выразить функцию y, определяемую уравнением (2-1) в явном виде, достаточно это уравнение разрешить относительно y.

Следует отметить, что неявная функция бывает многозначной.

Сложная функция

Если функция y зависит от переменной u, т. е. у = f (u), u U, а u, в свою очередь, является какой - либо функцией от независимой переменной х, т. е u = g (x), х Х, то переменная у называется функцией от функции (или сложной функцией) от x и записывается в виде Y = f (u), u = g (x), или y = f [g (x)].   Область определения сложной функции - это множество тех значений х X, для которых функция g (x) определена, кроме того, значения u принадлежат области определения функции y = f (u).    П р и м е р 3. Функция является сложной. Здесь y = √ u и u = x² − 2·x − 3.    Функция u = x² − 2·x − 3 определена на всей числовой прямой, т. е. x R. В область определения функции y = f (x) входят лишь те значения х, для которых подкоренное выражение неотрицательно x² − 2·x − 3 ≥ 0, поэтому х ≤ − 1 и х ≥ 3. Следовательно, D = (− ∞, 1] [3, + ∞) . На интервале [− 1, 3] заданная функция не существует.   Из определения следует, что сложная функция у = f [g (x)] может быть представлена в виде цепочки простых функций: у = f (u), u = g (x). Переменную u принято называть промежуточным аргументом в отличие от независимой переменной х.

Понятие обратной функции

  Если функция задана уравнением вида f (x, y) = 0, не разрешенным относительно у, то она при некоторых условиях называется неявной функцией аргумента x.   Пусть задана некоторая функция у = f(х), которая каждому элементу из множества D (f) ставится в соответствие один элемент из множества Е ( f ). Если обратное соответствие есть тоже функция, то есть, каждому значению у E( f ) соответствует единственное значение х D ( f ), то ее называют обратной функцией по отношению к функции f (х).   В этом случае соотношение у = f (х) определяет х как неявную функцию от у. Если это соотношение разрешимо относительно х, то получим явное выражение обратной функции: х = g (у).   Если функция g является обратной по отношению к функции f, то и функция f является обратной по отношению к функции g, т. е. эти две функции - взаимно-обратные.   Одна и та же кривая у = f (х) представляет собой график функции у = f (х) и график обратной функции х = g (у) (если она существует), но в последнем случае значения аргумента рассматриваются на оси Оу, а значения функции - на оси Ох.   Если придерживаться стандартных обозначений и независимую переменную обозначать через х, а функцию − через у, то функция, обратная по отношению к у = f (х), запишется в виде у = g (х). В этом случае график функции у = g (х) симметричен графику функции у = f (х) относительно прямой у = х − биссектрисы I и III координатных углов.   Для взаимно - обратных функций имеют место следующие соотношения

D ( f ) = E ( g ), E ( f )= D (g),

т. е. область определения данной функции совпадает с множеством значений обратной функции, и наоборот.

Вопрос 17: Основные преобразования графика функции у = f(х) графики функций у = f(х – а), y = b + f(x), y = c·f(x)(c не равно 0), у = f(kх) (k не равно 0).

При построении графиков функции применяются следующие приемы: построение «по точкам»; действия с графиками – сложение, вычитание, умножение графиков; преобразования графиков – сдвиг, растяжение.

Исходя из графика функции у = f(х), можно построить графики функции:

1. у = f(х – а) – исходный график, сдвинутый вдоль оси Ох на величину а;

2. у = f(x) + b – тот же график, сдвинутый вдоль оси Оу на величину b;

3. у = С f(х) (С не равно 0) – график функции f(х), ординаты которого сжаты в 1/С раз при 0 <C < 1 и растянуты в С раз при 1 < C < + ∞ c сохранением соответствующих абсцисс. При -∞ < C <0 график функции у = С f (х) является зеркальным отражением графика у = -С f (х) относительно оси Ох;

4. у = f(kx) (k не равно 0) – график функции f(x), абсциссы которого увеличены в 1/k раз при 0 < k < 1 и уменьшены в k раз при 1 < k< + ∞ с сохранением их ординат. При -∞ < k < 0 график функции у = f(kx) представляет собой зеркальное отображение графика у = f (-kх) относительно оси Оу.

Вопрос 18. Числовая последовательность. Определение числовой последовательности. Арифметические действия над последовательностями. Ограниченные и неограниченные последовательности. Монотонные последовательности.

Числовая последовательность-это функция натурального аргумента

x_n=f(n), n€N a_n=f(n)? a₁,a₂.....a_{n-члены последовательности}

a_n-общий член последовательности

_{Последовательность называется ограниченной если все её члены находятся в интервале (-М};М), | x_{n|<M, M>0, при любом n}

_{Последовательность называется монотонно возрастающей, если при всех n, каждый её член больше предыдущего} x_n+1>x _n

_{Последовательность называется монотонно убывающей, если при всех n, каждый её член меньше предыдущего} x_n+1<x _n

_{Если переменная величина изменяется не монотонно, то её называют колеблющейся.}