- •1 Вопрос: Множество и его элементы. Подмножества. Основные операции над множествами. Действительные числа и числовая ось. Абсолютная величина действительного числа и ее свойства.
- •Числовая ось
- •Вопрос 2: Метод координат. Направленные отрезки и их величины. Основное тождество. Координаты на прямой. Прямоугольная система координат на плоскости.
- •Вопрос 3: Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости – расстояние между двумя точками, площадь треугольника, деление отрезка в данном отношении.
- •Вопрос4: Полярные координаты. Связь между прямоугольными и полярными координатами.
- •Вопрос 5: Преобразования прямоугольных координат – параллельный сдвиг осей, поворот осей координат.
- •Неполные уравнения плоскости
- •Вопрос 7: Уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.
- •Вопрос 8: Уравнение прямой проходящей через 2 данные точки; уравнение прямой в «отрезках».
- •Вопрос 9: Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
- •Вопрос 10: Эллипс, его свойства и график. Эксцентриситет эллипса.
- •Вопрос 11: Гипербола, её свойства и график. Асимптоты и эксцентриситет гиперболы.
- •Вопрос 12: Парабола. Её свойства и график.
- •Вопрос 13: Общее уравнение линии второго порядка и его приведение к простейшему виду. Классификация линий второго порядка.
- •Приведение уравнения линии второго порядка к простейшему виду
- •Классификация линий второго порядка
- •Вопрос 14: Постоянные переменные величины. Определение функции. Способы задания функций. Четные и нечетные, периодические, монотонные функции.
- •Четные и нечетные функции
- •Монотонные функции
- •Вопрос 15: Основные элементарные функции – линейная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции функции и их свойства.
- •Вопрос 16: Понятие неявной функции. Сложная и обратная функции. Понятие неявной функции
- •Сложная функция
- •Понятие обратной функции
- •Вопрос 19.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Основные свойства б.М. Последовательностей.
- •Вопрос 20: Сходимость числовых последовательностей. Основные свойства сходящихся последовательностей. Предельный переход в неравенства.
- •Сходящиеся последовательности
- •Предельный переход в неравенствах
- •Вопрос 22: Предел функции. Определение предела функции в точке. Предел функции при х→∞. Односторонние пределы.
- •Вопрос 23: Основные теоремы о пределах: единственность предела функции, пределы функций f(X) g(X), f(X)·g(X), f(X)/g(X), c·f(X).
- •Вопрос 24: Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Аривметические операции над бесконечно малыми функциями.
- •Вопрос 25: Два замечательных предела.
- •Вопрос 26:Приращение аргумента и функции. Определение непрерывности функции в точке.
- •Вопрос 28: Свойства функций непрерывных в точке. Непрерывность функций f(X) g(X), f(X)·g(X), f(X)/g(X).
- •Вопрос 29: Теорема о непрерывности сложной и обратной функций.
- •Непрерывность сложной функции
- •Вопрос 30: Точки разрыва функции и их классификация.
- •Вопрос 31: Производная. Задача о наклоне касательной к кривой. Задача о производительности труда. Общее определение производной. Геометрический и экономический смысл производной.
- •Вопрос32. Производная суммы, произведения, частного.
- •Вопрос 33: Производные тригонометрических функций
- •Вопрос 34: Производные логарифмической, обратной и показательной функций.
- •Вопрос 35:Производные обратных тригонометрических функций.
- •Вопрос 36. Производная сложной функции. Производная неявной функции.
- •Вопрос 37: Логарифмическая производная.
- •Вопрос 39: Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала.
- •Вопрос 40: Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Абсолютная и относительная погрешность числа.
- •Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Вопрос 44.Экстремум функции. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции.
- •Вопрос 45. Необходимое условие экстремума, критические точки. Достаточные признаки существования экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значение функции.
- •Вопрос46. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. Асимптоты.
- •Вопрос 47. Общая схема исследования функции и построение её графика.
- •Вопрос 49. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.
- •Вопрос51. Метод непосредственного интегрирования.
- •Вопрос 52.Метод замены переменной.
- •Вопрос53.Метод интегрирования по частям.
- •Вопрос54.Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •Вопрос 59.Определенный интеграл как предел интегральный суммы. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.
- •Вопрос 60.Формула Ньютона-Лейбница .
- •Вопрос 61. Интегрирование заменой переменной.
- •Вопрос 62 Интегрирование по частям определенного интеграла.
- •Вопрос 63. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
- •Вопрос 64. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Вопрос 65.Вычисление площадей плоских фигур
- •Вопрос 66. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Вопрос 67. Вычисление объема тела.
- •Вопрос 69.Числовые ряды. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимый признак сходимости.
- •Вопрос 70. Достаточные признаки сходимости рядов.
- •Вопрос 71. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда.
Предельный переход в неравенствах
Теорема 1. Пусть - сходящаяся последовательность и . Тогда .
Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.
Обозначим . Тогда утверждение, противоположное доказываемому, имеет вид:
.
Возьмем . Тогда, по определению, предела последовательности, можно написать
.
Последнее неравенство распишем в виде двойного
Но так как , то и получается что , что противоречит условию теоремы.
Следствие. Если и сходящиеся последовательности и , то
.
Доказательство дается следующей цепочкой следствий
=> => =>
=>
Важное замечание. Допустим, что в условии теоремы вместо мы написали . Можно ли утверждать, что ?
Ответ отрицательный. Действительно, пусть, например, . Тогда , но .
Таким образом, итог этой теоремы и замечание выглядит так: в неравенствах допустим предельный переход, надо только иметь ввиду, что после предельного перехода строгое неравенство (типа > или <) может замениться на нестрогое
(> перейдет в , < перейдет в ).
Вопрос 22: Предел функции. Определение предела функции в точке. Предел функции при х→∞. Односторонние пределы.
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Определение. Число А называется пределом числовой последовательности {an}, если для любого даже сколь угодно малого положительного числа ε>0 найдется такой номер N( зависящий от ε), N = N(ε), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство: |an - A| < ε
lim = A
n→∞
Опр: Число А называется пределом функции у = f(х) при Х→Хо, если для любого сколько угодно малого, но положительного числа ε найдется такое положительное число , что для всех Х выполняется условие:
Хо – < Х < Хо + δ
lim = A
n→∞
Односторо́нний преде́л в— предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва).
Вопрос 23: Основные теоремы о пределах: единственность предела функции, пределы функций f(X) g(X), f(X)·g(X), f(X)/g(X), c·f(X).
Теорема о единственности предела:
Если последовательность имеет предел, то он единственен.
1 f(x) g(x) → 0 - сумма и разность бмв и есть бмв.
2. f(x)·g(x)→0 – произведение бмв и есть бмв.
3. f(x)/g(x) →0 – отношение бмв есть бмв, const
4. c·f(x) →0 – произведение const и бмв есть бмв.
Вопрос 24: Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Аривметические операции над бесконечно малыми функциями.
Опр 1: Переменная величина Хn называется бесконечно малой, если для всякого наперед заданного положительного числа ε можно узнать такое натуральное число N, что |Xn|<ε, для всех n>N.
Опр 2: Если {n имеет предел О, т.е.
lim Хn = 0, то такая величина на называется бесконечно малой величиной.
х→0
Опр 1: Величина Xn называется бесконечно большой, если для любого наперед заданного числа М>0 можно указать такое натуральное число N, что для всех номеров n>N выполняется неравенство |Xn|>M.
Свойства бмв:
1 f(x) g(x) → 0 - сумма и разность бмв и есть бмв.
2. f(x)·g(x)→0 – произведение бмв и есть бмв.
3. f(x)/g(x) →0 – отношение бмв есть бмв, const
4. c·f(x) →0 – произведение const и бмв есть бмв.
Свойства ббв:
1 f(x) g(x) → ∞
2. f(x)·g(x)→∞
3. f(x)/g(x) →∞ –бмв, ббв, const
4. c·f(x) →∞