Вопрос 10: Эллипс, его свойства и график. Эксцентриситет эллипса.
Опр:
Эллипс – это геометрическое место точек
плоскости, для каждой из которых сумма
расстояний до двух данных точек той же
плоскости, назывемых фокусами эллипса
, есть величина постоянная. Эллипс -
это кривая, получающаяся как проекция
на плоскость
окружности,
лежащей в плоскости, которая образует
острый угол с плоскостью
.
В отличие от окружности, записать в
"удобном" виде уравнение эллипса
в произвольной системе координат не
удается. Поэтому для фиксированного
эллипса приходится подбирать систему
координат так, чтобы его уравнение было
достаточно простым. Пусть
и
-
фокусы эллипса. Начало
системы
координат расположим на середине отрезка
.
Ось
направим
вдоль этого отрезка, ось
-перпендикулярно
к этому отрезку.
А·С>0 – это эллипс.
х²/а² + у²/b² = 1 – коническое уравнение эллипса.
А=1/а², С=1/b²
F2·М + F1·М>2С
F2·М + F1·М= 2а
Опр:
Точки пересечения эллипса с его осями
симметрии называются вершинами
эллипса, центр симметрии -- центром
эллипса, отрезок между двумя вершинами,
содержащий фокусы, называется большой
осью эллипса,
половина его длины -- большой
полуосью эллипса.
Отрезок между вершинами на оси симметрии,
не содержащей фокусов, называется малой
осью эллипса,
половина его длины -- малой
полуосью. Величина
называется
эксцентриситетом
эллипса.
Свойства эллипса:
1)Вершины: А1(а1;2) A2(-a;0); В1(0;4); В2(0;-b).
2)2а – большая ось
А – большая полуось
2b – малая ось
B – малая полуось
Е
сли
a>b,
то
Е
сли
a<b,
то
3)Фокусы:
с² = а² - b² - при условии, что а>b.
F1(с;0); F2(-с;0) € ОХ
с² = b² - а², a<b
F 1 (0;с); F2(0;-с).
4)Эксцентриситет
Эксцентриситет - это отношение расстояния между фокусами к длине большой оси. 0< ε <1
Эксцентриситет показывает насколько деформирована окружность, т.е. характеризует форму эллипса.
Замечание: Если а = b, то эллипс превращается в окружность.
5)Если а>b, то
r1=а+εх
r2=а- εх
Если а<b, то
r1=b+εу
r2=b- εу
Вопрос 11: Гипербола, её свойства и график. Асимптоты и эксцентриситет гиперболы.
Гиперболой называют геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
-
Коническое уравнение гиперболы
Свойства гиперболы:
1)Вершина: А1(а;0); А2(-а;0)
Данная кривая обладает центральной симметрией.
А1А2=2а – действительная ось
2а – действительная полуось.
2)2b – мнимая ось
b – мнимая полуось.
3)Фокусы:
F1(с;0); F2(-с;0)
с² = b² - а²,
F 1 (0;с); F2(0;-с)
4)Эксцентриситет:
Фокальные радиус-векторы:
1.r1= εх – а; r2=а+εх ( U )
2. r1= εу – b; r2= εу + b ( ∩ )
6)Асимптоты гиперболы:
у=+-b/а·х
Замечание: Гипербола называется равносторонней, если её полуоси равны (а = b)
Замечание: Две гиперболы
х²/а² + у²/b² = 1 и х²/а² + у²/b² =- 1 называются сопряженными. Они имеют одни и те же полуоси и асимптоты, но действительная ось одной является мнимой для другой и наоборот.