Вопрос 30: Точки разрыва функции и их классификация.

Опр: Точки, в которых нарушается непрерывность функции называются точками разрыва.

Точки разрыва бывают 1 рода, 2 рода и «устранимые».

Опр: Точка Хо называется точкой разрыва 1 рода , если существуют и конечны, но не равны между собой односторонние пределы.

Опр: Точка Хо называется точкой 2 рода, если хотя бы одна из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Опр: Точка Хо называется «устранимой» точкой разрыва, если существуют, конечны и равны между собой односторонние пределы, но они не равны значению функции в этой точке.

Вопрос 31: Производная. Задача о наклоне касательной к кривой. Задача о производительности труда. Общее определение производной. Геометрический и экономический смысл производной.

Опр: Производной функцией у = f(x) в точке Х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

=

Замечание: Если функция в точке Х имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой функцией.

Геометрический смысл производной: производная f ’(Хо) – есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке Хо, то есть k = f ’)Хо)

Экономический смысл производной: Производная объема произведенной продукции по времени u’(tо), есть производительность труда в момент времени tо.( u – объем)

Вопрос32. Производная суммы, произведения, частного.

Dh:Пусть ф-ия и дифференцируемы в точке х₀ , тогда в этой точке дифференцируемы их сумма, произведение и частное, причем выполняются формулы:

1. 

2. 

3. , если

Лемма: Ф-ия, дифференцируема в точке х₀ , непрерывна в этой точке.

- дифф. в т. х₀ обратное утверждение неверно!!!

Вопрос 33: Производные тригонометрических функций

Функции, обратные тригонометрическим, носят название обратных тригонометрических или обратно круговых функций. Главные значения обратных тригонометрических функций получаются в результате обращения дифференцируемых (с отличной от нуля производной в соответствующей области) тригонометрических функций и, следовательно, в силу теоремы о производной обратной функции являются также дифференцируемыми.

sin(x + h) = sin x + (sin x)'h + o(h)

sin(x + h) − sin x = (sin x)'h + o(h)

(cos x)h + o(h) = (sin x)'h + o(h)

cos x = sin 'x

Вопрос 34: Производные логарифмической, обратной и показательной функций.

Теорема о дифференцировании обратной функции:

Для дифференцируемой функции с производной не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. Х’у = 1/У’х

Логарифмическая производная(производная степенно-показательной функции):

Функция вида у = называется степенно показательной или показательно степенной.

Способы решения:

1.Через сумму производных степенной и показательной функций.

2.По формуле

3.Через логарифмирование

Вопрос 35:Производные обратных тригонометрических функций.