Вопрос 25: Два замечательных предела.

Первый замечательный предел используется для раскрытия неопределенности вида 0/0

lim Sin x/х = 1

х→0

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги, выраженной в радианах к самой дуге, равен 1.

Дополнительные формулы:

1. lim Sin kx/х = k

х→0

2.lim tg kx/eх = k/е

х→0

3.lim arctg x/х = 1

х→0

4. lim tg x/х = 1

х→0

5.lim arcsin x/х = 1

х→0

6.lim ln(1 + x)/х = 1

х→0

Второй замечательный предел :

lim ( ) = е = - через ббв, так как х→∞

х→∞

=1/х→ 0 х = 1/ →∞ - через бмв

lim = е - через бмв

Дополнительные формулы:

Вопрос 26:Приращение аргумента и функции. Определение непрерывности функции в точке.

Рассмотрим два значения аргумента Х и Хо:

Хо – фиксированное значение

Х – текущее значение

(Х – Хо) = Х – приращение аргумента.

Приращением функции в точке Хо называется разность f(Х) – f(Xо) = У – приращение функции.

Опр. по Коши: Функция f(x) называется непрерывной в точке Хо, если бмв приращению аргументов соответствует бмв приращению функции.

Опр по Гейну: Функция f(x) называется непрерывной в точке Хо, если для любой последовательности аргумента Х таких, что Хй; Х2 и т.д. →Хо соответствующая последовательность значения функции f(x) таких, что f(X1), f(X2)… и т.д. сходятся к f(Xо).

Опр: Функция f(х) называется непрерывной в точке Хо, если она удовлетворяет следующим 3 условиям:

1.Определена Хо, то есть существует f(Хо).

2.Имеет конечный придел при Х→Хо.

3.Этот предел равен значению функции в точке Хо.

Замечание: Для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.

Вопрос 27: Непрерывность основных элементарных функций – степенной у = , показательной у = , тригонометрических y = sin x и y = cos х.

1.Степенная функция у = (n – натуральное) непрерывна при любом значении х.

2.Показательная функция у = (а>0) непрерывна при любом значении .

3.Тригонометрическая функция y = sin x непрерывна при каждом значении х.

Вопрос 28: Свойства функций непрерывных в точке. Непрерывность функций f(X) g(X), f(X)·g(X), f(X)/g(X).

Свойства функций непрерывных в точке:

Теорема 1: Если f(x) и g(x)непрерывны в точке Хо, то их сумма тоже непрерывна.

Замечание: Аналогично для разности, произведения и частного.

Теорема 2 (Непрерывность сложной функции): Сложная функция, состоящая из непрерывных функций непрерывная.

Теорема 3 (О непрерывности обратной функции): Если функция f(x) непрерывная и строго монотонна на отрезке АВ, то существует однозначная обратная функция = (у) так же непрерывная и монотонная.

f(x) g(x) – непрерывна в точке х = а

Вопрос 29: Теорема о непрерывности сложной и обратной функций.

Теорема 2 (Непрерывность сложной функции): Сложная функция, состоящая из непрерывных функций непрерывная.

Непрерывность сложной функции

Пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х₀, а функция f (y) непрерывна в точке у₀ = φ (x₀), тогда сложная функция f(φ(x)) непрерывна в точке х₀.   Доказательство. Выберем произвольную как угодно малую окрестность U(z₀) точки z₀ = f (y₀). Тогда в силу непрерывности функции f (y) найдётся такая окрестность V(y₀) точки у₀, что, если у V(y₀), то значения функции f (y) U(z₀). Далее, для полученной окрестности V(y₀) в силу непрерывности функции у = φ (x) в точке х₀ существует такая окрестность W(x₀), что если х W(x₀), то значения функции у = φ(x) V(y₀). Следовательно, для произвольной точки х W(x₀) следует z = f (φ(x)) U(z₀). Что и требовалось доказать.   Это можно записать ещё и так .

Указанное выше свойство можно сформулировать в виде правила замены переменной: пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х₀, а функция f (y) непрерывна в точке у₀ = φ(x₀), тогда

Теорема 3 (О непрерывности обратной функции): Если функция f(x) непрерывная и строго монотонна на отрезке АВ, то существует однозначная обратная функция = (у) так же непрерывная и монотонная.