Неполные уравнения плоскости

Пусть плоскость задана своим общим уравнением

A∙x + B∙y + C∙z + D = 0, (*)

тогда

1. если D = 0, то (*) определяет плоскость, проходящую через начало координат;

2. если А = 0, то B∙y + C∙z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Ox (т.к. );

3. если В = 0, то A∙x + C∙z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Oy (т.к. );

4. если C = 0, то A∙x + B∙y + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Oz (т.к. );

5. А = 0; В = 0, то C∙z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oxy;

6. A = 0; C = 0, то В∙y + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oxz;

7. B = 0; C = 0, то A∙x + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oyz;

8. A = 0, B = 0, D = 0, то С∙z = 0 – это плоскость Oxy;

9. A = 0, C = 0, D = 0, то B∙y = 0 – это плоскость Oxz;

10. B = 0, C = 0, D = 0, то A∙z = 0 – это плоскость Oyz.

Точно так же, как было ранее с общим уравнением прямой на плоскости, из общего уравнения можно получить и другие формы уравнения плоскости. Одна из этих форм уравнение плоскости в отрезках.

Из общего уравнения плоскости

A∙x + B∙y + C∙z + D = 0

Получается уравнение плоскости в отрезках

Последнее выражение получило название «уравнение плоскости в отрезках»

Вопрос 7: Уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y=kх+b - уравнение прямой с угловым коэффициентом

k – угловой коэффициент.

k= tgα

Угловой коэффициент равен tgα, образованного прямой и положительным направлением оси ОХ.

Если k>0, то α<90 (острый угол)

Если k<0, то α>90 (тупой угол)

B – свободный член

Величина b показывает, какой отрезок отсекает прямая от оси ОХ по оси ОУ.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.

у-у1=k(х-х1) – уравнение «Пучка»

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A(x₁, y₁), которая называется центром пучка.

Вопрос 8: Уравнение прямой проходящей через 2 данные точки; уравнение прямой в «отрезках».

Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), записывается так:

     

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

   

Уравнение прямой в отрезках:

х/а + у/b=1

а – абсцыса точки пересечения с осью ОХ (расстояние до Х).

b – ордината точки пересечения прямой с осью ОУ (расстояние до ОУ).

Вопрос 9: Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.

Пусть даны прямые:

у=k1х+b1 у=k2х+b2

А1х+В1у+С1=0; А2х+В2у+С2=0

Тогда условие параллельности имеет вид:

1. k1=k2 - Если прямы е ||, то их угловые коэффициенты равны.

2. А1/А2=В1/В2 - Отношения коэффициентов в общем уравнении равны.

Условие перпендикулярности:

Прямые перпендикулярны если:

1. k1·k2 = -1 – произведение угловых коэффициентов равно -1.

2. А1·А2+В1·В2=0

Угол ȹ отсчитанный против часовой стрелки от прямой у=k1х+b1, у=k2х+b2, то

tg ȹ=k2-k1/1+k1·k2

Расстояние от точки до прямой.

Доказательство. Пусть точка М₁(х₁, у₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁:

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀ перпендикулярно заданной прямой.

            Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим: