- •1 Вопрос: Множество и его элементы. Подмножества. Основные операции над множествами. Действительные числа и числовая ось. Абсолютная величина действительного числа и ее свойства.
- •Числовая ось
- •Вопрос 2: Метод координат. Направленные отрезки и их величины. Основное тождество. Координаты на прямой. Прямоугольная система координат на плоскости.
- •Вопрос 3: Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости – расстояние между двумя точками, площадь треугольника, деление отрезка в данном отношении.
- •Вопрос4: Полярные координаты. Связь между прямоугольными и полярными координатами.
- •Вопрос 5: Преобразования прямоугольных координат – параллельный сдвиг осей, поворот осей координат.
- •Неполные уравнения плоскости
- •Вопрос 7: Уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.
- •Вопрос 8: Уравнение прямой проходящей через 2 данные точки; уравнение прямой в «отрезках».
- •Вопрос 9: Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
- •Вопрос 10: Эллипс, его свойства и график. Эксцентриситет эллипса.
- •Вопрос 11: Гипербола, её свойства и график. Асимптоты и эксцентриситет гиперболы.
- •Вопрос 12: Парабола. Её свойства и график.
- •Вопрос 13: Общее уравнение линии второго порядка и его приведение к простейшему виду. Классификация линий второго порядка.
- •Приведение уравнения линии второго порядка к простейшему виду
- •Классификация линий второго порядка
- •Вопрос 14: Постоянные переменные величины. Определение функции. Способы задания функций. Четные и нечетные, периодические, монотонные функции.
- •Четные и нечетные функции
- •Монотонные функции
- •Вопрос 15: Основные элементарные функции – линейная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции функции и их свойства.
- •Вопрос 16: Понятие неявной функции. Сложная и обратная функции. Понятие неявной функции
- •Сложная функция
- •Понятие обратной функции
- •Вопрос 19.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Основные свойства б.М. Последовательностей.
- •Вопрос 20: Сходимость числовых последовательностей. Основные свойства сходящихся последовательностей. Предельный переход в неравенства.
- •Сходящиеся последовательности
- •Предельный переход в неравенствах
- •Вопрос 22: Предел функции. Определение предела функции в точке. Предел функции при х→∞. Односторонние пределы.
- •Вопрос 23: Основные теоремы о пределах: единственность предела функции, пределы функций f(X) g(X), f(X)·g(X), f(X)/g(X), c·f(X).
- •Вопрос 24: Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Аривметические операции над бесконечно малыми функциями.
- •Вопрос 25: Два замечательных предела.
- •Вопрос 26:Приращение аргумента и функции. Определение непрерывности функции в точке.
- •Вопрос 28: Свойства функций непрерывных в точке. Непрерывность функций f(X) g(X), f(X)·g(X), f(X)/g(X).
- •Вопрос 29: Теорема о непрерывности сложной и обратной функций.
- •Непрерывность сложной функции
- •Вопрос 30: Точки разрыва функции и их классификация.
- •Вопрос 31: Производная. Задача о наклоне касательной к кривой. Задача о производительности труда. Общее определение производной. Геометрический и экономический смысл производной.
- •Вопрос32. Производная суммы, произведения, частного.
- •Вопрос 33: Производные тригонометрических функций
- •Вопрос 34: Производные логарифмической, обратной и показательной функций.
- •Вопрос 35:Производные обратных тригонометрических функций.
- •Вопрос 36. Производная сложной функции. Производная неявной функции.
- •Вопрос 37: Логарифмическая производная.
- •Вопрос 39: Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала.
- •Вопрос 40: Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Абсолютная и относительная погрешность числа.
- •Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Вопрос 44.Экстремум функции. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции.
- •Вопрос 45. Необходимое условие экстремума, критические точки. Достаточные признаки существования экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значение функции.
- •Вопрос46. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. Асимптоты.
- •Вопрос 47. Общая схема исследования функции и построение её графика.
- •Вопрос 49. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.
- •Вопрос51. Метод непосредственного интегрирования.
- •Вопрос 52.Метод замены переменной.
- •Вопрос53.Метод интегрирования по частям.
- •Вопрос54.Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •Вопрос 59.Определенный интеграл как предел интегральный суммы. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.
- •Вопрос 60.Формула Ньютона-Лейбница .
- •Вопрос 61. Интегрирование заменой переменной.
- •Вопрос 62 Интегрирование по частям определенного интеграла.
- •Вопрос 63. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
- •Вопрос 64. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Вопрос 65.Вычисление площадей плоских фигур
- •Вопрос 66. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Вопрос 67. Вычисление объема тела.
- •Вопрос 69.Числовые ряды. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимый признак сходимости.
- •Вопрос 70. Достаточные признаки сходимости рядов.
- •Вопрос 71. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда.
Вопрос 12: Парабола. Её свойства и график.
Парабола - это геометрическое место точек на плоскости, одинаково удаленных от данной точки фокуса и данной прямой директрисы. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром и обозначается p>0.
Если А = 0 или С = 0, то это парабола.
х² = 2ру
у² = 2рх - конаническое уравнение параболы.
d – директриса
Свойства параболы:
1)Так как у в четной степени, то параболв симметрична относительно оси ОХ.
2)Если у параболы р>0, то ветви направлены вправо, Если р<0, то ветви направлены влево.
3)х = -р/2
4) а)F(р/2;0)
F(0;р/2) ( U )
Замечание: Квадратный трехчлен вида ах² + bх + с = 0 можно привести к конаническому уравнению параболы х² = 2ру с помощью параллельного переноса, выделяя полный квадрат.
Вопрос 13: Общее уравнение линии второго порядка и его приведение к простейшему виду. Классификация линий второго порядка.
Ах² + 2Вх + Су² + 2Вх + 2Еу +F = 0 – общее уравнение линии второго порядка, где, коэффициенты A, B, C, D, E, F – любые не равные нулю одновременно числа и, кроме того, то есть А2 + В2 + С2 ≠ 0.
К кривым линиям второго порядка относятся: окружность, гипербола, парабола, эллипс.
Составим из коэффициентов выражение: δ = А·В - В² (δ – дельта).
Если δне равна 0, то будет центральная кривая.
Если δ = 0, то будет не центральная кривая.
Приведение уравнения линии второго порядка к простейшему виду
Пусть в прямоугольной системе координат Оxy задано уравнение (12.1) и пусть А·С – В2 ≠ 0. Тогда с помощью параллельного сдвига и последующего поворота осей координат уравнение (12.1) приводится к виду
A'·x''2 + C'·y''2 + F' = 0, |
где А', С', F' — некоторые числа; (х''; y'') – координаты точки в новой системе координат. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть прямоугольная система координат О'х'y' получена параллельным сдвигом осей Ох и Оy, причем начало координат перенесено в точку О'(х0; y0). Тогда старые координаты (х; у) будут связаны с новыми (х'; у') формулами х = х' + х0, у = у' + у0. В новых координатах уравнение (12.1) принимает вид:
A·x'2 + 2·B·x'·y' + C·y'2 + 2·D'·x' + 2·E'·y' + F' = 0, |
где
D' = A·x0 + B·y0 + D; E' = B·x0 + C·y0 + E; F' = A·x02 + 2·B·x0·y0 + C·y02 + 2·D·x0 + 2·E·y0 + F.
Классификация линий второго порядка
В зависимости от знака величины А·С – В2 линии второго порядка разделяются на следующие три типа
эллиптический, А·C – В2 > 0.
гиперболический,А·C – В2 < 0.
параболический,А·C – В2 = 0.
Вопрос 14: Постоянные переменные величины. Определение функции. Способы задания функций. Четные и нечетные, периодические, монотонные функции.
Пусть даны два непустых подмножества D и Е множества R. Если каждому элементу х из D сопоставляется по какому - либо правилу один и только один элемент у из Е, то говорят, что на множестве D задана функция. Эта функция записывается в виде
y = f (x) x D или x → f (x) x D
Следует заметить, что функция является частным случаем соответствия, при котором одному элементу из множества D ставится в соответствие только один элемент из множества Е. Подмножество D или D ( f ) называется областью определения (существования) функции у = f (х), подмножество Е или Е ( f ) множеством ее значений. Переменная х называют независимой переменной или аргументом, переменная y - зависимой переменной, а соответствие такого рода между ними - функциональной зависимостью. Функция называется числовой, если ее область определения и множество значений - числовые множества, т. е. D(f) R и E ( f ) R .
Способы задания функции
Аналитическое задание функции. Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции. При аналитическом задании функции часто не указывают область ее определения. Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью ее определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл. Замечание. Областью определения функций f (x) ± g (x), f (x)·g (x); f (x)/g(x) является пересечение областей определения составляющих функций, причем последняя функция, кроме того, не определена в тех точках, где знаменатель обращается в ноль g (х) = 0. Замечание. Функцию не следует отождествлять с формулой, с помощью которой она задана.
Две функции равны только в том случае, когда их области определения совпадают, и эти функции принимают одинаковые значения при одних и тех же значениях аргумента. Аналитический способ задания функции удобен тем, что значения функции можно вычислить при любых допустимых значениях аргумента. По заданному аналитическому выражению функции удобно изучать ее свойства. Однако недостатком этого способа задания функции является его малая наглядность. Графический и табличный способы задания функции. Графиком числовой функции у = f (х) называется множество точек плоскости с координатами (х; f (х)), абсциссы которых - числа из области определения функции, а ординаты - соответствующие значения функции, т. е.
Г = {(x; y)| x D , y = f (х)}.
Графический способ задания функции используют тогда, когда функцию трудно или невозможно задать аналитически. График функции дает наглядное представление о свойствах функции. Задать функцию графически - это значит построить ее график. 3амечание. Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия может служить графиком функции. Линия только в том случае задает функцию, если любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает ее не более чем в одной точке.
При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента выписывается соответствующее значение функции. Таблицы могут составляться также по значениям х и у, полученным из опыта или наблюдения. Для построения графика по аналитическому выражению функции в простейшем случае также составляется таблица значений аргумента и функции. Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.