Вопрос 52.Метод замены переменной.

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводащимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно oпpeделить подстановку пpиобpетaeтcя практикой.

В неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:а) х =φ(t), где φ(t) - монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае:

б) где U – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке: 

Вопрос53.Метод интегрирования по частям.

• Метод интегрирования по частям

Пусть u=u(х) и ν=v(х) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv)=u•dv+v•du.

Интегрируя это равенство, получим

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла   к вычислению интеграла   , который может оказаться существенно более простым, чем исходный.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо обpaзoм в виде произведения двух сомножителей и и dv (это, как правило, можно осуществить несколькими cспособами); затем, после нахождения ν и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удюбно вычислять методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида   где

Р(х) - многочлен, К - число. Удобно положить u=Р(х), а за dv обoзнaчить все остальные сомножители.

2.Интегралы вида   Удобно положить Р(х)dx=dv, а за u обозначить остальные сомножители.

3.  Интегралы вида  , где а и b - числа.

За u можно принять функциюu=е^αх.

Вопрос54.Интегрирование дробно-рациональных функций.

Рациональной дробью называется дробь вида  , где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.

Чтобы проинтегрировать правильную рациональную дробь нужно её знаменатель разложить на множители, а затем представить саму дробь в виде суммы простейших рациональных дробей. При этом следует ввести коэффициенты ABCD-неопределенные коэффициенты.Метод неопределенных коэффициэнтов.

Вопрос 59.Определенный интеграл как предел интегральный суммы. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.

Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.

1. С помощью точек х₀=а, x_1, х_{2, ...,} х_n = В (х₀ <x₁ < ...< х_n) разобьем отрезок [а, b] на n частичных отрезков [х₀;х₁], [x₁; х₂],..., [х_n-1,х_n] (см. рис. 167).

2. В каждом частичном отрезке [x_i-1;x_i], i = 1,2,...,n выберем произвольную точку с_i є [x_i-1; x_i] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(с_i).

3. Умножим найденное значение функции ƒ (с_i) на длину ∆x_i=x_i-x_i-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (с_i) • ∆х_i.

4. Составим сумму S_n всех таких произведений:

Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим черезλ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆x_i(i = 1,2,..., n).

5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ→0.

Если при этом интегральная сумма S_n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] и обозначается  Таким образом,

Числа а и b называются соответственна нижним и верхним пределами интегрирования, ƒ(х) — подынтегральной функцией, ƒ(х) dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования, отрезок [а; b] — областью (отрезком) интегрирования.

Если Sn(интегральная сумма) имеет предел, который не зависит не от способа разбиения отрезка [a,b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b].

Геометрический смысл

Sкр.трап=

Физический смысл: что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t=а до t=b, равен определенному интегралу от скорости v(t)