2) Если функцию f(X,y,z) интерпретировать как плотность распределения вещества вдоль дуги ав, то - масса дуги ав.

Из определения криволинейного интеграла следует, что его величина не зависит от направления обхода дуги АВ, т.е.

Отметим условия существования интеграла (3.1).

Теорема

Если дуга АВ гладкая и функция f(x,y,z) непрерывна на ней, то интеграл (3.1) существует.

Можно сформулировать и значительно более сильную теорему об условиях существования интеграла (3.1).

********************

22.Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

Пусть гладкая дуга АВ задана параметрически уравнениями: x=x(t), y=y(t), z=z(t),где α ≤ t ≤ β.

Кроме того, на этой дуге определены и непрерывны функции f(x,y,z), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), тогда криволинейные интегралы могут быть вычислены следующим образом:

а) криволинейный интеграл 1-го рода:  

б) криволинейный интеграл 2-го рода:

*********************** 

24.Криволинейный интеграл второго рода, его свойства.

 Пусть АВ - дуга гладкой кривой (рис. 3.2), на которой определена и непрерывна векторная функция

Выполним следующие действия:

1) разобьем дугу АВ произвольным образом в направлении от А к В с помощью точек М_i (i = 1, ..., n) на n частичных дуг:Δl₁, Δl₂, ..., Δl_i, ..., Δl_n.

Пусть λ_n- наибольшая из длин частичных дуг. Понятно, что если λ_n → 0, то n → ∞.

2) выберем произвольным образом точки N_i(x_i, y_i, z_i) Δl_i (i=1,...,n);

3) организуем векторы и вычислим значения векторной функции в точках N_i (i = 1, ..., n), т. е. (N_i)=(P(N_i), Q(N_i), R(N_i));

4) Составим интегральную сумму вида

 

Определение

 

Конечный предел интегральной суммы β_n при λ_n → 0, если он существует и не зависит от способа деления дуги АВ на частичные дуги и от способа выбора точек N_i Δ_i (i=1,...,n), называется криволинейным интегралом второго рода (по координатам) от векторной функции =(P,Q,R) по дуге АВ в направлении от А к B и обозначается:

Геометрические и физические приложения интеграла (3.3) разнообразны, некоторые из них будут упомянуты в дальнейшем.

Из построения интеграла (3.3) очевидно, что при изменении направления обхода дуги АВ интеграл меняет знак, т. е.

Об условиях существования интеграла (3.3) говорит следующая теорема.

Теорема

 

Если дуга АВ гладкая, и функция = (P,Q,R) непрерывна на ней, то интеграл (3.3) существует.

Можно сформулировать более сильные условия существования криволинейного интеграла по координатам.

 

********************************

25.Вычисление криволинейного интеграла второго рода.

Пусть l — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически. Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой l в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

,

,

.

Если обозначить за касательный вектор к кривой l, то нетрудно показать, что