- •1.Задача о вычислении объема цилиндрического тела. Двойной интеграл.
- •2.Свойства двойного интеграла
- •1. Геометрический смысл двойного интеграла.
- •6. Оценка двойного интеграла снизу и сверху: если , то где s - площадь области d.
- •3.Замена переменных в двойном интеграле.
- •4.Вычисление двойного интеграла в Декартовой системе координат.
- •1.Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат для правильной области
- •2. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат для неправильной области
- •5.Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
- •6.Тройной интеграл.
- •7.Свойства тройного интеграла.
- •2.11. Свойства тройного интеграла
- •8. Вычисление тройного интеграла в Декартовой системе координат.
- •9.Вычисление тройного интеграла в цилиндрической системе координат.
- •10. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат
- •11.Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля.
- •12.Производная по направлению скалярного поля.
- •13.Градиент скалярного поля, его свойства
- •14.Векторное поле. Векторные линии векторного поля.
- •15.Поверхностный интеграл первого рода, его свойства.
- •16.Методы вычисления поверхностного интеграла первого рода.
- •17.Поток векторного поля, его гидродинамический смысл.
- •18.Поверхностный интеграл второго рода, его свойства.
- •19.Связь между поверхностными интегралами первого и второго родов.
- •20.Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность. Теорема Остроградского-Гаусса.
- •2) Если функцию f(X,y,z) интерпретировать как плотность распределения вещества вдоль дуги ав, то - масса дуги ав.
- •22.Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
- •24.Криволинейный интеграл второго рода, его свойства.
- •4) Составим интегральную сумму вида
- •25.Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
- •26. Формула Грина
- •27.Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •2) Интеграл не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от положения точек m0 и м;
- •4) В каждой точке области d.
- •28.Циркуляция вектора. Теорема Стокса.
- •29. Числовой ряд. Сходимость числового ряда
- •32. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •33. Знакоположительные числовые ряды. Признаки сравнения.
- •35. Радикальный признак Коши
- •36. Интегральный признак Коши
- •37. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •38. Достаточный признак сходимости знакочередующегося числового ряда (Теорема Лейбница)
- •39. Функциональный ряд. Область сходимости функционального ряда.
- •40. Степенной ряд. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
- •1) Если степенной ряд сходится при некотором значении , то абсолютно сходится при всяком значении , для которого справедливо .
- •2) Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком : .
- •41. Свойства степенных рядов.
- •1) Если степенной ряд сходится при некотором значении , то абсолютно сходится при всяком значении , для которого справедливо .
- •2) Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком : .
- •42. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряд Тейлора.
17.Поток векторного поля, его гидродинамический смысл.
Понятие потока векторного поля удобно рассматривать на примере потока жидкости, движущейся через некоторую поверхность. Объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность, расположенную в движущейся жидкости, назовем потоком жидкости через эту поверхность.
Пусть поверхность S расположена в поле скоростей частиц несжимаемой жидкости с плотностью ρ=1.
Можно показать, что поток векторного поля в этом случае равен
где - единичный нормальный вектор к поверхности S, расположенный по одну сторону с вектором , а величина . Независимо от физического смысла вектора , интеграл (3.34) по поверхности называют потоком векторного поля через поверхность S. Пусть и , тогда поток П вектора через поверхность S можно записать в виде:
Или учитывая связь поверхностных интегралов первого и второго родов, можно записать поток П через поверхностный интеграл в координатах:
18.Поверхностный интеграл второго рода, его свойства.
Пусть задана поверхность S, ограниченная линией L (рис. 3.10).
Возьмём на поверхности S какой-нибудь контур l, не имеющий общих точек с границей L.
В точке М контура l можно восстановить две нормали и к поверхности S.
Выберем какое-либо одно из этих направлений.
Обводим точку М по контуру l с выбранным направлением нормали.
Если в исходное положение точка М вернётся с тем же направлением нормали (а не с противоположным), то поверхность S называют двусторонней.
Мы будем рассматривать только двусторонние поверхности Двусторонней поверхностью является всякая гладкая поверхность с уравнением z = f(x,y).
Пусть S - двусторонняя незамкнутая поверхность, ограниченная линией L, не имеющей точек самопересечения. Выберем определённую сторону поверхности.
Будем называть положительным направлением обхода контура L такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остаётся слева.
Двусторонняя поверхность с установленным на ней таким образом положительным направлением обхода контуров называется ориентированной поверхностью.
Перейдём к построению поверхностного интеграла второго рода. Как при изучении криволинейных интегралов второго рода рассматривалась направленная кривая, так и при построении поверхностного интеграла второго рода рассматривается определенная сторона поверхности.
Возьмём в пространстве двустороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан уравнением вида z = f(x,y) или является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz.
Пусть R(x,y,z) - функция, опредёленная и непрерывная на поверхности S. Сетью линий разбиваем S произвольным образом на n "элементарных" участков ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, не имеющих общих внутренних точек.
На каждом участке ΔSi произвольным образом выберем точку Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Пусть (ΔSi)xy - площадь проекции участка ΔSi на координатную плоскость Оху, взятая со знаком "+", если нормаль к поверхности S в точке Mi(xi,yi,zi) образует с осью Oz острый угол, и со знаком "-", если этот угол тупой.
Составим сумму которую называют интегральной суммой для функции R(x,y,z) по поверхности S по переменным х, у.
Обозначим λ - наибольший из диаметров ΔSi (i = 1, ..., n).
Если существует конечный предел ,
не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔSi и от выбора точек Mi ΔSi (i = 1, ..., n), то он называется поверхностным интегралом по выбранной стороне поверхности S от функции R(x,y,z) по координатам х, у (или поверхностным интегралом второго рода) и обозначается
Аналогично можно построить поверхностные интегралы по координатам x, z илиу, z по соответствующей стороне поверхности, т. е.
Если существуют интегралы (3.16) и (3.17), то можно ввести "общий" интеграл по выбранной стороне поверхности:
Поверхностный интеграл второго рода обладает обычными свойствами интеграла. Заметим лишь, что любой поверхностный интеграл второго рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.
Вычисление интеграла (3.16) как правило, сводят к вычислению двойного интеграла.
Пусть S - двусторонняя поверхность, заданная уравнением z=f(x,y), где f(x,y) непрерывна в области τ (τ есть проекция поверхности S на координатную плоскость Оху), и R(x,y,z) - непрерывная функция на поверхности S.
Выберем "верхнюю" сторону поверхности S, тогда знак проекции (ΔSi)xy всегда "+", поэтому
есть интегральная сумма для функции R(x,y,f(x,y)) по плоской области τ.
Переходя к пределу (при λ 0 ), получаем отсюда и очевидны условия существования поверхностного интеграла второго рода.
*************************************