- •1.Задача о вычислении объема цилиндрического тела. Двойной интеграл.
- •2.Свойства двойного интеграла
- •1. Геометрический смысл двойного интеграла.
- •6. Оценка двойного интеграла снизу и сверху: если , то где s - площадь области d.
- •3.Замена переменных в двойном интеграле.
- •4.Вычисление двойного интеграла в Декартовой системе координат.
- •1.Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат для правильной области
- •2. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат для неправильной области
- •5.Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
- •6.Тройной интеграл.
- •7.Свойства тройного интеграла.
- •2.11. Свойства тройного интеграла
- •8. Вычисление тройного интеграла в Декартовой системе координат.
- •9.Вычисление тройного интеграла в цилиндрической системе координат.
- •10. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат
- •11.Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля.
- •12.Производная по направлению скалярного поля.
- •13.Градиент скалярного поля, его свойства
- •14.Векторное поле. Векторные линии векторного поля.
- •15.Поверхностный интеграл первого рода, его свойства.
- •16.Методы вычисления поверхностного интеграла первого рода.
- •17.Поток векторного поля, его гидродинамический смысл.
- •18.Поверхностный интеграл второго рода, его свойства.
- •19.Связь между поверхностными интегралами первого и второго родов.
- •20.Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность. Теорема Остроградского-Гаусса.
- •2) Если функцию f(X,y,z) интерпретировать как плотность распределения вещества вдоль дуги ав, то - масса дуги ав.
- •22.Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
- •24.Криволинейный интеграл второго рода, его свойства.
- •4) Составим интегральную сумму вида
- •25.Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
- •26. Формула Грина
- •27.Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •2) Интеграл не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от положения точек m0 и м;
- •4) В каждой точке области d.
- •28.Циркуляция вектора. Теорема Стокса.
- •29. Числовой ряд. Сходимость числового ряда
- •32. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •33. Знакоположительные числовые ряды. Признаки сравнения.
- •35. Радикальный признак Коши
- •36. Интегральный признак Коши
- •37. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •38. Достаточный признак сходимости знакочередующегося числового ряда (Теорема Лейбница)
- •39. Функциональный ряд. Область сходимости функционального ряда.
- •40. Степенной ряд. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
- •1) Если степенной ряд сходится при некотором значении , то абсолютно сходится при всяком значении , для которого справедливо .
- •2) Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком : .
- •41. Свойства степенных рядов.
- •1) Если степенной ряд сходится при некотором значении , то абсолютно сходится при всяком значении , для которого справедливо .
- •2) Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком : .
- •42. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряд Тейлора.
19.Связь между поверхностными интегралами первого и второго родов.
Отметим здесь лишь сам факт существования такой взаимной зависимости.
Пусть поверхность S задана уравнением: z = f(x,y), причем f(x,y), f'x(x,y), f'y(x,y) - непрерывные функции в замкнутой области τ (проекции поверхности S на координатную плоскость Оху), а функция R(x,y,z) непрерывна на поверхности S.
Нормаль к поверхности S, имеющая направляющие косинусы cosα, cosβ, cosγ, выбрана к верхней стороне поверхности S. Тогда
Для общего случая имеем:
*********************************
20.Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность. Теорема Остроградского-Гаусса.
Пусть задано векторное поле
Определение |
На этот раз векторное поле порождает скалярное поле .
С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградского можно представить в форме:
т. е. поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.
На основании формулы (3.38) можно записать: и, переходя к пределу, стягивая V в точку М (при этом величина V 0 ), имеем:
То есть есть предел отношения потока поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат.
Если поток , то в область V втекает большее количество жидкости (если следовать ранее рассмотренному примеру о течении несжимаемой жидкости), чем вытекает из неё, т.е. внутри области V имеются источники жидкости.
Если П < 0, то внутри области V есть стоки.
Но поток векторного поля характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно, т. е. при П ≥ 0 внутри области V могут быть как источники, так и стоки.
Для характеристики точки можно использовать .
Если > 0, то данная точка есть источник,если < 0 - то сток.
Заметим, что можно записать с помощью символического вектора Гамильтона в следующем виде:
Отметим свойства дивергенции (справедливость которых рекомендуется показать самостоятельно):
*********************************
21.Криволинейный интеграл первого рода, его свойства.
Пусть АВ - дуга гладкой кривой (рис. 3.1), на которой определена и непрерывна скалярная функция
f (x, y, z).
Выполним следующие действия:
1) разобьем дугу АВ произвольным образом на n частичных дуг ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn.
Через λn обозначим длину наибольшей из этих частичных дуг.
Понятно, что при λn → 0 автоматически n → ∞;
2) выберем произвольным образом точки ;
3)составим интегральную сумму вида , здесь под ΔSi понимаем длины частичных дуг.
Определение |
Конечный предел интегральной суммы αn при λn → 0, если он существует и не зависит от способа деления дуги АВ на частичные дуги ΔSi(i=1,...,n) и от способа выбора точек Ni(xi,yi,zi) ΔSi(i=1,...,n) называется криволинейным интегралом первого рода (по длине дуги) от функции f(x,y,z) по дуге АВ и обозначается
Имеются самые различные истолкования криволинейного интеграла по длине дуги, как геометрические, так и физические.
Например: |