8. Вычисление тройного интеграла в Декартовой системе координат.

dV=dxdydz

Пусть область интегрирования описывается с помощью неравенства

a≤x≤b

φ₁(x)≤y≤φ₂(x)

ψ₁(x,y)≤z≤ψ₂(x,y) ψ₁ и ψ₂ –непрерывные функции

Тогда для вычисления тройного интеграла имеет место следующая формула:

Интеграл, находящийся в правой части вычилсяется последовательным вычислением трех интегралов, начиная с внутреннего, причем все переменные, за исключением переменной интегрирования считаются постоянными.

9.Вычисление тройного интеграла в цилиндрической системе координат.

 Рассмотрим цилиндрическую систему координат: Оrφz, которая совмещена с декартовой системой координат Оxyz (рис. 2.19).

При этом

 Вычислим Якобиан перехода от декартовой системы к цилиндрической:

 Следовательно,

Тогда тройной интеграл примет вид:

 

 

10. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат

 Рассмотрим сферическую систему координат ОρΘφ, совмещённую с декартовой системой Оxyz. При этом максимальные пределы изменения сферических координат таковы: 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ ∞,0 ≤ Θ ≤ π.

 Из рис. 2.21 нетрудно вывести следующие формулы, связывающие декартовые и сферические координаты:

 с помощью которых получим Якобиан преобразования:

Таким образом, переход к сферическим координатам в тройном интеграле осуществляется по формулам:

 

*****************************

11.Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля.

Будем вести рассмотрение этих новых понятий в двух или трёхмерном пространстве из-за простоты геометрической или физической интерпретаций.

Полем величины U называют область D трехмерного пространства, с каждой точкой M(x,y,z) которой в каждый момент времени t связано определённое значение величины "U".

Если U есть скалярная (векторная) величина, то и порождаемое ею поле называют скалярным (векторным). Задание скалярного поля есть задание скалярной функции U = f(M,t) = f(x,y,z).

Если величина U не зависит от времени t, то поле называют стационарным, или установившимся.

Пусть задано скалярное стационарное поле U=f(M)=f(x,y,z) , где функцию f(x,y,z) будем всегда предполагать непрерывно дифференцируемой в рассматриваемой области.

Основной вопрос исследования скалярного поля есть вопрос об изменении функции U при переходе из одной точки пространства в другую. Для выяснения этого вопроса рассмотрим, прежде всего, геометрическое место точек, в которых величина U сохраняет постоянное значение.

Это геометрическое место точек называют поверхностью уровня скалярного поля U. Ее уравнение в выбранной системе координат имеет вид

U(x,y,z)=C,

где C = const. Следовательно, изменяя значения C, получаем семейство поверхностей уровня, которые заполняют всю область, где определено поле, и никакие две поверхности уровня, отвечающие различным значениям C, не имеют общих точек.

Задание всех поверхностей уровня с указанием соответствующих значений C равносильно заданию самого поля.

Указанный способ изображения поля особенно удобен, если речь идет о поле, заданном в плоской области D двух переменных. В этом случае уравнение U(x,y)=C определяет, вообще говоря, некоторую кривую линию, называемую линией уровня плоского скалярного поля.

Такие линии различных скалярных полей всем хорошо известны: линии равных высот (горизонтали) удобны для изображения размера местности, линии равных температур (изотермы) или линии равных давлений (изобары) в метеорологии и т. д.