32. Необходимое условие сходимости числового ряда.
Необходимый признак сходимости ряда.
Теорема
Ряд
может
сходиться только при условии, что его
общий член
при
неограниченном увеличении номера
стремится
к нулю:
.
Если
,
то ряд
расходится
– это достаточный признак расходимости
ряда.
Док-во:
Пусть
ряд
сходится, тогда 
= 
= 
-
= S-S
= 0
Замечание Необходимое условие сходимости числового ряда не является достаточным условием сходимости. Поэтому из того, что это условие выполняется ничего конкретного об исследуемом ряде сказать нельзя. Однако невыполнение необходимого условия сходимости ряда следует рассматривать как достаточное условие его расходимости.
33. Знакоположительные числовые ряды. Признаки сравнения.
называется знакоположительным, если все его члены не отрицательны, т.е. Un ≥0,Vn.
Лемма: Если частичные суммы знакоположительного числового ряда ограничены сверху, то Sn ≤M, Vn
Пусть даны два ряда с положительными членами
,
(1)
.
(2)
Для них справедливы следующие утверждения.
Теорема 1 (Первый признак сравнения числовых рядов). Пусть члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е. при n=1, 2, ...
.
(3)
Тогда: а) если ряд (2) сходится, то и (1)сходится. б) если ряд (1) расходится,то и (2) расходится.
Док-во. Обозначим через Sn и σn соответственно частичную сумму первого и второго рядов:
Sn
= 
,
σn
= = 
.
Из условия (3) следует, что Sn ≤ σn (4)
Так
как ряд (2) сходится, то существует предел
σ его частичной суммы 
=
σ.
Из того, что члены рядов (1) и (2) положительны, следует, что σn ˂ σ, и тогда в силу неравенства (4)
Sn ˂ σ.
Итак,
мы доказали, что частичные суммы Sn
ограничены.Заметим, что при увеличении
п частичная сумма S
возрастает, а из того, что последовательность
частичных сумм возрастает и ограничена,
следует, что она имеет предел 
=
S
причем очевидно, что S
≤ σ .
На основании теоремы 1 можно судить о сходимости некоторых рядов.
Теорема 2 (Второй признак сравнения числовых рядов). Пусть члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е. при n=1, 2, ...
.
(5)
Тогда, если ряд (2) расходится, то ряд (1) расходится.
Док-во:
Из условия
(5) следует, что Sn
σn.
(6)
Так
как члены ряда (2) положительны, то его
частичная сумма σn.
возрастает
при возрастании n,
а так как он расходится, то
=
Но тогда в силу неравенства (6) 
=
,
т.е ряд (1)
расходится.
34. Признак Даламбера Пусть l - предел отношения последующего члена un+1 ряд (1)
к
предидущему un
при n , т.е.
Тогда, если l < 1, то ряд l сходится, если l > 1, то ряд l расходится, Если же l = 1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым. Док-во. Согласно определению предела переменной величины, равенство
означает,
что, начиная с некоторого номера n,
выполняются неравенства
,
где e
- наперед заданное сколь угодно малое
положительное число.
Рассмотрим
три случая:
а)
пусть l
< 1
. Тогда всегда можно взять e
настолько
малым, чтобы выполнялось неравенство
l + < 1 и, начиная с некоторого n , неравенство
,где
q
= l + ,
в силу чего
ряд
(1)
будет сходящимся;
б) пусть l
> 1
. Выбираем e
так, чтобы =
l - 1 > 0
Тогда
l
- = 1 и
т.е. ряд (1)
расходится
в) пусть l = 1 . Тогда ряд (1) может быть как сходящимся, так и расходящимся. В самом деле, для гармонического ряда
который
расходится, имеем
С другой стороны, ряд
сходится,
а для него также
потому
что
Таким
образом, доказано, что если
то
ряд (1)
сходится; если l
> 1 ,
то ряд (1)
расходится.