25. Общие понятия сетевых моделей. Сеть транспортных потоков.

Теория потоков возникла одновременно с разработкой методов решения задач, связанных с рациональной перевозкой грузов. Схема доставки груза представлялась в виде графа, по ребрам которого проходит подлежащий максимизации поток этого груза. Позднее обнаружилось, что к задаче о максимальном потоке сводятся и другие важные оптимизационные практические задачи.

Сеть (или линейный граф) определяется заданием двух множеств: множества вершин X и множества дуг a, соединяющих различные пары узлов.

Вершины (или узлы, точки) обозначаются x₁ , x₂ , … , x_n и изображаются точками на плоскости или в пространстве. Общее количество вершин сети будем обозначать через n.

Дуги (или ребра, звенья) — это пары связанных между собой элементов множества X. Дуги будем обозначать u₁ , u₂ , … , u_m. Их изображают отрезками или кривыми линиями.

Если на каждой дуге задана ориентация (направление), т. е. определен порядок в паре вершин, связанных данной дугой ( i, j ) от x_i к x_j, то говорят, что сеть ориентированная.

В сети есть вершины I, которые являются входом, истоком и есть вершины S, которые служат выходом, стоком сети.

Предположим, что между парой узлов допускается только одна дуга (i, j): если ребро (i, j) входит в сеть, то оно также принадлежит сети.

Рис. истоком I является вершина 1, стоком S— вершина 6.

Максимальное количество r_ij продукции, которое может пропускать за единицу времени ребро (i, j), называется его пропускной способностью. В общем случае r_ij не равно r_ji. Если вершины i и j на сети не соединены, то r_ij = r_ji = 0. На сети пропускные способности ребер указаны в скобках. При этом первое число — это пропускная способность в направлении от вершины i к вершине j, второе — в противоположном направлении. Пропускные способности сети можно задать квадратной матрицей R n-го порядка. Поскольку r_ij = 0, на главной диагонали этой матрицы стоят нули. Матрица R пропускных способностей сети, изображенной на рисунке, представлена в нижеприведённой таблице. Здесь n — 6-го порядка.

Матрица R пропускных способностей сети

Количество х_ij продукции, проходящей через ребро ( i, j ) в единицу времени, называется потоком по ребру ( i, j ).

Если поток по ребру ( i, j ) меньше его пропускной способности, т.е. x_ij < r_ij, то ребро ( i, j ) называют ненасыщенным, если же x_ij = -x_ij (9) — насыщенным.

Совокупность Х={ x_ij } потоков по всем ребрам ( i, j ) сети называют потоком по сети или просто потоком.

Из физического смысла грузопотока следует, что поток по каждому ребру ( i, j ) не может превышать его пропускную способность, т. е. (10).

Для любой вершины, кроме истока I и стока S, количество продукции, поступающей в эту вершину, равно количеству продукции, вытекающей из неё. Это требование можно выразить записью (11).

Данное ограничение называют условием сохранения потока: в промежуточных вершинах потоки не создаются и не исчезают. Отсюда следует (12) , где j — конечные вершины ребер, исходящих из I; i — начальные вершины ребер, входящих в S.

Линейную функцию f называют мощностью потока на сети.