1.1.2 Обробка результатів прямих вимірювань

В ході виконання лабораторних робіт будуть проводитись вимірювання, метою яких буде вимірювання значень фізичних величин (або різних констант), або вивчення взаємозв’язку між фізичними величинами.

В першому випадку необхідно провести задану викладачем кількість вимірювань фізичної величини. Оскільки в ході вимірювань при виконанні лабораторних робіт випадкова похибка, як правило, більша за систематичну, то найбільш близьким до істинного значення фізичної величини буде середнє арифметичне . Якщо результати вимірювань фізичної величини позначити , = 1, …, , то можна розрахувати за формулою

(1.1.2.1)

Відхилення результату одного з вимірювань від середнього арифметичного можна охарактеризувати абсолютною похибкою вимірювання , або відносною похибкою вимірювання . Випадкова похибка кожного вимірювання, яка більша за систематичну, приводить до того, що кожне з з однаковою імовірністю може бути як більшим, так і меншим за . Складаючи при обчисленні зменшуємо вплив випадкової похибки на і чим більшою є кількість вимірювань, тим меншою є різницю між і істинним значенням фізичної величини . Це положення можна проілюструвати графічно. Припустимо, що зроблено багато вимірів фізичної величини . Побудуємо графік (див. рис. 1.1.2.1), по осі абсцис якого ми відкладено результати вимірювань, а по осі ординат – кількість вимірювань, які попали в інтервал , розділену на загальну кількість вимірювань (тут - деяка безкінечно мала величина). В курсі теорії ймовірностей було показано, що випадку коли випадкова похибка обумовлена дією великої кількості незалежних чинників, то отриманий графік є нормальним розподілом (або розподілом Гауса):

(1.1.2.2)

Наслідком математичних властивостей нормального розподілу є твердження, що інтервал включатиме 68% всіх проведених вимірювань, інтервал - 95% всіх вимірювань а інтервал - 99,7% всіх вимірювань. Тобто розрахувавши - середньоквадратичне відхилення можна визначити інтервал, в якому знаходиться результат вимірювань з потрібною ймовірністю. Цим способом можна було б скористатися якби кількість вимірювань була більше сотні, але при виконанні лабораторних робіт на виконання такого об’єму вимірювань і розрахунків було б витрачено невиправдано багато часу.

Рис. 1.1.2.1.

Тому для оцінки похибки вимірювань спочатку розраховується середньоквадратичне відхилення середнього арифметичного

(1.1.2.3)

а потім розраховується довірчий інтервал по формулі

де - коефіцієнт Ст’юдента, для заданої кількості вимірювань і ймовірності . Зауважимо, що при збільшенні кількості вимірів розподіл Ст’юдента прямує до нормального розподілу.

Приклад 1. Припустимо, ми провели вимірювання висоти циліндра штангель циркулем. Результати вимірювань (які позначимо , ): 24,2 мм; 24,1 мм; 24,0 мм; 24,2 мм; 24,1 мм; 24,1 мм.