1. Математические модели Системного анализа

О классификация моделей

В зависимости от выбора различных существенных черт системы (элементов и связей между ними)можно получать различные модели, описывающие с различных точек зрения реальную систему.

В настоящее время используются следующие уровни описания систем:

1. лингвистический (в том числе – логико-математический);

2. теоретико-множественный (в том числе – абстрактно-алгебраический, топологический);

3. динамический.

Лингвистический уровень – наиболее высокий уровень абстрагирования. Наиболее детально разработано представление моделей на теоретико-множественном и динамическом уровнях.

В общем случае модель S на теоретико-множественном уровне задается в виде кортежа *:

К омпонентами которого являются множество элементов А₁,…А_n, образующих систему, и определенные на этом множестве отношения между элементами системы R₁,…R_m из представления моделей (1.1) видно, что компоненты А₁,…А_n представляют некоторую “опорную информацию”_, положенную в построение моделей. Только выделив «опорные» точки можно приступать к заданию отношений на множестве А₁, А₂,….А_n.

Кортеж – последовательность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место.

Система может характеризоваться различными отношениями между множествами объектов. В связи с этим математической моделью системы назовем кортеж: , (*).

Компонентами которого являются семейство множеств (объектов) М₁, М₂….М_n, образующих систему, и определенные на этом семействе множеств отношения R₁, R₂,…R_m, каждое из которых определяется или как бинарное отношение на семействе множеств, или как отношение размерности к, .

Каждой комбинации отношений будет соответствовать своя модель системы.

Если кортеж (*) имеет одно отношение, то модель отображает какую-либо одну сторону – один аспект системы.

В многоаспектной модели принимается во внимание множество отношений.

Кортеж (*), который мы назвали математической моделью системы, иногда будем называть просто – системой.

Взаимодействие со средой.

Воздействие среды на систему характеризуется некоторыми параметрами или показателями, которые называются входными параметрами (входами, факторами). Множество входов может быть представлено кортежем: Х=(Х₁, Х₂, …Хr).

Входы преобразуются системой в параметры, которые характеризуют результаты проводимых системой операций. Эти параметры – выходные: у= (у₁, у₂,…у_s).

Система преобразует входы в выходы благодаря некоторому отношению R: .

Тогда моделью системы «вход-выход» будет тройка: S = (x, y, R)

Отношение может быть функциональным: y = F(x), тогда модель будет иметь вид: S = (x, y, F).

Эти модели соответствуют случаям, когда система имеет единственное состояние и параметры выходов совпадают с параметрами состояния.

В более общем случае вход системы определяет параметры её состояния: Z = (Z₁, Z₂,…Z_n).

через отношение или через функцию Z = F(x)

Выходные системы определяются бинарным отношением между параметрами вход-состояние и выход или функционально y = G(x,Z).

В этом случае модели системы определяются пятерками: S = (x, Z, y, R₁, R₂) или S = (x, Z, y, F, G).