6.5. Понятие нечеткого бинарного отношения

Нечеткое N-арное отношение в пространстве М₁ х М₂ х …х М_N – есть подмножество декартового произведения М₁х…х М_N, которое характеризуется функцией принадлежности , которая показывает степень принадлежности данного элемента (кортежа) к нечеткому множеству.

Его можно задавать матрицей и графом:

	0.2	0.8	0.1
0.4	1	0.7	0.5
1	0.8	0.4	0.3

Матрица имеет вид:

Т.е. не только 0 и 1

Г

Х₂

_0.6

раф имеет вид:

Х₁

Х₃

_0.7

_0.3

Свойства нечетких бинарных отношений.

1. Рефлексивность нечеткого бинарного отношения R означает, что _R(х_i,х_j)=1 при ij. Т.е. в матрице рефлексивности нечеткого отношения на главной диагонали стоят единицы.

2. Антирефлексивность нечеткого бинарного отношения R означает, что _R(х_i,х_j)=0 при ij. Т.е. в матрице антирефлексивности нечеткого отношения на главной диагонали стоят нули.

3. Симметричность нечеткого бинарного отношения R означает, что _R(х_i,х_j)=_R(х_j,x_i) при ij. Т.е. матрица симметричного нечеткого отношения - симметрична.

4. Антисиметричнось нечеткого бинарного отношения R означает, что из _R(х_i,х_j)0 следует _R(х_j,x_i)=0 при ij. Т.е. матрица антисимметричного нечеткого отношения - антисимметрична.

5. Транзитивность означает, что для любых x,z,yM выполняются соотношения:

_R(x,y)max(min(_R(x,z),_R(z,y))

z

Лекция№ 13

6.8. Трехместные и n-местные отношения

Приведем сначала несколько примеров трехместных отношений:

1. по х бомбардировщикам Z ракетно-зенитных комплексов дали залп у ракетами;

2. из х видов сырья Z предприятий выпускает у видов продукции, и т.д.

в некоторых случаях трехместные отношения сводятся к двум бинарным. Такое же понижение порядка возможно и для n-местных отношений.

Как и в случае бинарных отношений, трехместные и, вообще, n-местные отношения отождествляются с множеством упорядоченных троек, упорядоченных n^-к (или кортежей, длинною n) элементов.

Упорядоченное множество или кортеж.

Кортеж – последовательность элементов, т.е. совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Число элементов кортежа называется его длиною. Для обозначения кортежа используют крупные скобки. Так множество а = (₁… а_n) - является кортежем длины n с элементами а₁… а_n.

Если имеется семейство множеств Х₁, Х₂, …Х_n , то по определению, n-местным отношением R является подмножество множества всех возможных кортежей длиной n, т.е.:

Понятие нечеткой и лингвистической переменной

Определение. Нечеткая переменная характеризуется тройкой (X, U, R (X;u)), где Х – название переменной, U – универсальное множество, u – общее название элементов множества U, R(X; u) –нечеткое подмножество множества U, представляющее собой нечеткое ограничение на значения переменной u, обусловленное Х. (Вместо R(X, u) будем писать сокращенно R(X), R(u) или R(x), где х – общее название значений переменной Х, и будем называть R(X, u) ограничением на u или ограничением, обусловленным Х. Неограниченная обычная переменная u является для Х базовой переменной).

Уравнение назначения для Х имеет вид: X = U: R(X)

и отражает то, что элементу х назначается значение u с учетом ограничения R(X).

Ту степень, с которой удовлетворяется это равенство, будем называть совместимостью значения u с R(X) и обозначать её через C(u). По определению:

где - степень принадлежности u ограничению R(X).

Замечание. Важно отметить, что совместимость значения u не есть тоже самое, что вероятность значения u.

Совместимость u с R(X) – это лишь мера того, насколько значение u удовлетворяет ограничению R(X); она не имеет никакого отношения к тому насколько вероятно или невероятно это значение.

Важным аспектом понятия лингвистической переменной является то, что эта переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная, в том смысле, что, значениями лингвистической переменной являются нечеткие переменные. Например, значениями лингвистической переменной Скорость м. быть: малоскоростной, скоростной, нескоростной, очень скоростной и т.д. каждое из этих значений является названием нечеткой переменной. Если Х – название нечеткой переменной, то ограничение, обусловленное этим названием, можно интерпретировать как смысл нечеткой переменной Х. Так, если ограничение, обусловленное нечеткой переменной «скоростной», представляет собой нечеткое подмножество множества U = [0,1000] вида

т о это нечеткое множество м. Считать смыслом нечеткой переменной скоростной.

Определение. Лингвистическая переменная характеризуется набором (X, T(X), U, G, M), в котором Х – название переменной; Т(Х) обозначает терм-множество переменной Х, т.е. множество названий лингвистических значений переменной Х, причем каждое из таких значений является нечеткой переменной Х со значениями из универсального множества U с базовой переменной u; G – синтаксическое правило, порождающее названия Х значений переменной х, а М – семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной Х её смысл М(Х), т.е. нечеткое подмножество М(Х) универсального множества U. Конкретное название Х порожденное синтаксическим правилом G, называется термом. Терм, состоящий из одного слова или нескольких слов, всегда фигурирующих вместе друг с другом, называется атомарным термом. Терм, состоящий из одного или более атомарных термов, называется составным термом.

Смысл М(Х) терма Х определяется как ограничение R(X) на базовую переменную U, обусловленное нечеткой переменной Х: M(X)=R(X).

Имея в виду, что R(X) и, следовательно, М(Х) м. Рассматриваться как нечеткое множество множества U, имеющее название Х.

Пример. Рассмотрим лингвистическую переменную скорость, т.е. Х=Скорость и пусть U=[0,1000]. Лингвистическим значением переменной Скорость может быть, например, скоростной, причем значение скоростной, является атомарным термом. Другим значением может быть очень скоростной, т.е. составной терм, в котором – скоростной атомарный терм, а очень и скоростной – подтермы.

Значение более или менее скоростной переменной скорость – составной терм, в котором терм скоростной – атомарный, а более или менее – подтерм. Терм – множество переменной Скорость можно записать следующим образом:

Т (Скорость) = скоростной + очень скоростной + не скоростной + более или менее скоростной + …

Принцип обобщения.

Принцип обобщения для нечетких множеств представляет собой в сущности основное равенство, позволяющее расширить область определения U отображения или отношения, включив в неё наряду с точками произвольные нечеткие подмножества множества U. Более конкретно, предположим, что f – отображение , а А – нечеткое подмножество вида: .

Тогда принцип обобщения утверждает, что

И так, образ множества А при отображении f можно получить, зная образы элементов u₁….u_n при этом отображении.

Е сли носитель подмножества А имеет мощность континуума, т.е.

То принцип обобщения принимает следующий вид:

п ри этом необходимо учитывать, что f(u) – точка множества V, а - степень принадлежности f(u) нечеткому подмножеству f(A) множества V.

Во многих приложениях принципа обобщения возникает следующая проблема. Имеется функция n переменных f : и нечеткое множество (отношение) А в , характеризующееся функцией принадлежности , где , i = 1, …n.

Непосредственное применение в этом случае принципа обобщения дает

О днако во многих случаях нам известно не само множество А, а его проекции А₁…А_n на U₁,…, U_n соответственно. В связи с этим возникает вопрос: какое выражение для , следует использовать в (*).

В таких случаях будем предполагать, что функция принадлежности А имеет вид

г де - функция принадлежности отношения A_i.