6.3. Типы отношений

Отношение эквивалентности: «элементы х и у одинаковы»; «элементы х и у взаимозаменимы» и т.д.

Отношение эквивалентности определяется тремя свойствами:

а) каждый объект эквивалентен самому себе (рефлексивность);

б) если объект х эквивалентен объекту у, то и объект у эквивалентен объекту х (симметричность);

в) если объект х эквивалентен объекту у и объект у эквивалентен объекту z, то объект х, эквивалентен объекту z (транзитивность).

Существует и другое, более удобное для приложений определение:

Отношение R на множестве М называется отношением эквивалентности, если существует разбиение множества М на систему не пустых подмножеств (классов) таких, что

и соотношение xRy выполняется лишь в тех случаях, когда элементы х и у принадлежат одному общему классу разбиения.

Из этого определения, в частности, видно, что отношение эквивалентности является основой процедур анализа систем (разбиения целого на части, идентификации объектов и т.д.).

Примеры использования отношения эквивалентности: множество операций разбивается на классы завершенных и незавершенных к определенному сроку; множество исполнителей разбивается по бригадам, цехам и т.д.; множество решений разбивается на подмножества допустимых и недопустимых решений и т.д.

Отношение толерантности

Если эквивалентность (одинаковость) обозначает их полную взаимозаменяемость в некоторой ситуации, то сходство – это частная взаимозаменяемость, т.е. возможность взаимной замены с некоторыми (допустимыми в данной ситуации) потерями, с допустимым риском.

Традиционный подход к изучению сходства состоит в том, чтобы сначала определить меру сходства, а затем исследовать взаимное расположение сходных объектов.

Так же, как переход от расплывчатого понятия “одинаковость” к точно определенному типу отношений сопровождался введением нового термина “эквивалентность”, математическое отношение, соответствующее нашему интуитивному представлению о сходстве получило название “толерантность”.

Отношение R на множестве М называется толерантностью, если оно рефлексивно и симметрично.

Естественность такого определения видна из того, что всякий объект заведомо схож сам с собой (рефлективность). Ясно также, что два объекта схожи или несхожи независимо от порядка, в котором мы их рассматриваем (симметричность).

(Поскольку одинаковость частный случай сходства, то эквивалентность – частный случай толерантности).

Пример 1. Множество М состоит из 4-х буквенных русских слов – нарицательных существительных в именительном падеже. Будем называть такие слова сходными, если они отличаются не более, чем на одну букву. Известная задача «Превращение мухи в слона» точных терминах формулируется так:

Найти такую последовательность слов, начинающуюся словом «муха» и кончающуюся словом «слон», любые два соседних слова в которой сходны (в смысле вышеприведенного определения).

Отношение порядка

Речь идет о ситуациях, когда объекты некоторого множества соотносятся по взаимному старшинству, по важности, по «первичности» и т.д. подобные отношения, по видимому, не симметричны.

Поскольку имеется возможность двоякого введения упорядочивания (как в случае нестрого неравенства <=, так и строгого неравенства <), то имеются отношения строгого и нестрогого порядка.

Отношение R на множестве М называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно и транзитивно.

Отношение R строго порядка :

Имеет интерпретации: «элемент х предпочтительнее у», «х больше у», «х предшествует у», «х включает в себя у».

Множество М с заданным на нем отношением строгого порядка R называют упорядоченным множеством.

Отношение R на множество М называется отношением нестрогого порядка, если оно может быть представлено в виде: , где R₁- строгий порядок на М, а Е– диагональное отношение.

Любое отношение нестрогого порядка – рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Важный специальный класс отношений порядка - так называемые древесные порядки.

Определение. Отношение строгого порядка < на множество М называется отношением древесного порядка если:

1) из того, что x < y и x < z следует, что y и z сравнимы;

2) на множестве М существует наибольший элемент.

Элемент x₀ мы будем называть наибольшим, если для всякого элемента , отличного от х₀, выполнено соотношение у<х₀ . Можно видеть, что наибольший элемент единственен.

Множество М с заданным на нем древесным порядком – называется деревом, а наибольший элемент – корнем дерева.

Дерево задается с помощью графов.

Назовем окрестностью элемента y совокупность элементов Z , для которых выполняется yRZ. Дерево изображается по ярусам.

В первом ярусе поместим корень дерева – наибольший элемент x₀. Во втором ярусе элементы, входящие в окрестность x₀. В третьем ярусе поместим элементы, входящие в окрестности элементов второго яруса и т.д., стрелки в графе могут идти только от яруса к ярусу.

При этом от каждого элемента к верхнему ярусу идет ровно одно ребро, а к нижнему может идти сколько угодно ребер.

Общее число ярусов называется высотой дерева - h. Максимальное число элементов в одной окрестности (максимально число ростков, выходящих из одной вершины) называется шириной дерева – d.

Очевидно, когда речь идет о системе, математической моделью которого является дерево, то корень дерева отождествляется с собственно системой как с чем-то целостным. Выделение первого яруса вершин означает выделение подсистем первого уровня, второго уровня и т.д.

При этом подсистемы выступают опять как нечто целостное.

Лекция № 12