2.2. Предел и непрерывность функции одной переменной

Опорный конспект

1. Предел последовательности и предел функции в точке .	3. Теоремы о пределах. Неопределённости Т.1. Т.2. Т.3. , , при . Неопределённости: , , , , . I замечательный предел: . II замечательный предел:
2. Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) функции Связь б.м. и б.б.: , . Свойства б.м. 10. . 20. .
4. Непрерывные функции О: непрерывна в т. 1) определена в , 2) . Свойства функций, непрерывных в точке : 10. непрерывны в точке 20. - непрерывна в т. , - непрерывна в т. , - непрерывна в т. . Следствие: элементарные функции непрерывны в своих областях определения.

Непрерывные функции

О: Функция называется непрерывной, в точке , если:

1) определена в окрестности точки .

2) .

График непрерывной в точке функции изображается в окрестности точки в виде «сплошной» линии (рис. 5.2).

Рис. 5.2.

О : Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в любой точке этого множества

О: Точка называется точкой разрыва функции , если в ней нарушается хотя бы одно условие из определения непрерывности.

Приведём примеры точек разрыва:

1) , - точка разрыва I рода (устранимый разрыв) (рис. 5.3);

2) , - точка разрыва I рода (скачок) (рис. 5.4);

3 ) , - точка разрыва II рода (рис. 5.5).

Рис. 5.3.		Рис. 5.4.		Рис. 5.5.

Свойства функций, непрерывных в точке .

1⁰. Если функции , непрерывны в точке , то , , и непрерывны в точке .

2⁰. Если функция непрерывна в точке , а непрерывна в точке , причём , то сложная функция непрерывна в точке .

Следствие. Элементарные функции непрерывны в своих областях определения.

2.3. Дифференцируемые функции одной переменной

Опорный конспект

1. Определение производной функции и геометрический смысл. . - скорость неравномерного прямолинейного движения. .		4. Правило Лопиталя
		5. Приложение производных к исследованию функций. 1) Экстремум, интервалы монотонности О. 2) Интервалы выпуклости, точки перегиба. О. 3. Асимптоты. Вертикальная – Наклонная –
2. Свойства операции дифференцирования. Таблица производных. 10. , . 20. . 30. . 40. . 50. .
; ; ; ; ; ;	; ; ; ; ; ; .
3. Дифференциал. , , ; .

Производная.

Пусть функция определена на интервале . Выберем точку Изменим значение аргумента на величину . Тогда новое значение аргумента будет Разность между новым и старым значением функции называется приращением функции, а величина - приращением аргумента.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего приращения к нулю:

Правила вычисления производных.

Пример. Найти производные следующих функций:

Решение.

Возрастающие и убывающие функции. Точки экстремума.

Функция называется возрастающей на отрезке, если для любых двух значения аргумента из этого отрезка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей на отрезке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Точки минимума или максимума называют точками экстремума.

Необходимое условие экстремума.

Для того, чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю ) или не существовала.

Достаточное условие экстремума.

Если при переходе через точку производная функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, - то точка минимума.

Пример. Исследовать на экстремум функцию

Решение. 1) Находим производную

2. Находим критические точки. Для этого решим уравнение

3. Исследуем знаки производной:

+

---

+

0

4

т.max

т.min

Схема 1

4) Найдем значения функции в точках экстремума.

Ответ: - точка максимума, - точка минимума,

Наибольшие и наименьшие значения функции на замкнутом отрезке.

Задача. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Для решения этой задачи используем схему.

1^о. Найти производную

2^о. Найти критические точки функции, принадлежащие отрезку в которых или не существует.

3^о. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение. Вычислим производную и найдем критические точки. Производная Чтобы найти критические точки приравняем производную нулю:

Находим дискриминант

Следовательно,

или 4. Вторая критическая точка не принадлежит отрезку Поэтому мы ее отбрасываем. Строим таблицу значений функции. При этом рассматриваем значения аргумента

x	0	1	3
y	1	12	-8

Наибольшее значение функции на отрезке при ; и наименьшее значение m= при

Пример. Расходы на топливо для топки парохода пропорциональны кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/час расходы на топливо составляют 300 руб. в час, остальные же расходы (не зависящие от скорости) составляют 4800 руб. в час. При какой скорости парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? Какова при этом общая сумма расходов в час?

Решение. Пусть - расходы на один км пути. Сначала найдем как величина зависит от , затем исследуем функцию на экстремум. Пусть - расходы на топливо в час. По условию где - неизвестный коэффициент. Чтобы найти подставим вместо значение 10, а вместо - значение 300. Тогда и Общие расходы за один час составляют а на один километр пути составляют

Исследуем эту функцию на экстремум. В условии задачи нет указаний, какую скорость может развивать пароход. Поэтому будем считать, что Найдем производную: Приравниваем производную нулю Исследуем знаки производной. Для этого вычислим производную в точке между нулем и двадцатью и в точке, где больше двадцати: Построим схематический рисунок

Ответ: наименьшее значение стоимости 1км пути получается при скорости 20км/час