6. Определенный интеграл

Опорный конспект

1. Определение О: , , , . .	2. Свойства 30. . 40. .
3. Формула Ньютона-Лейбница Замена переменной Интегрирование по частям .
	5 Геометрические приложения Площадь фигуры . О бъём тела вращения . .
4 Несобственные интегралы с бесконечными пределами О: . .

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции

Прежде, чем перейти к постановке и решению задачи, дадим определение.

Определение. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью 0x, вертикальными прямыми , и графиком функции , где при (рис.3).

Рис.3.

Постановка задачи. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью 0x, вертикальными прямыми , и графиком функции , , .

Решение задачи. В частном случае, когда , криволинейная трапеция является прямоугольником с основанием и высотой C, а ее площадь находится по формуле .

Больший интерес представляет общий случай, когда функция отлична от постоянной, то есть .

1. Основание трапеции – отрезок оси 0x разобьем произвольным образом на n частей: , , длины которых обозначим через . Проведем через точки деления прямые, параллельные оси 0y. Тогда криволинейная трапеция разобьется на n полосок.

2. Выберем произвольно точки , и найдем значения функции в этих точках: .

3. Найдем площадь каждой k-ой полоски приближенно, считая полоску прямоугольником с высотой и основанием . Тогда

,

а площадь всей криволинейной трапеции найдется по приближенной формуле

.

4. Перейдя к пределу при стремлении максимальной длины участка разбиения отрезка к нулю, получим точную формулу для площади криволинейной трапеции

.

Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический и механический смысл определенного интергала.

Рассмотрим функцию на отрезке и выполним следующие построения.

1. Разобьем отрезок произвольным образом на n частей: , , (здесь , ) и положим , .

2. В каждом отрезке выберем произвольную точку и найдем значения функции .

3. Составим сумму

.

Эта сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке . Она зависит от способа разбиения отрезка на части и от выбора точек .

Определение. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

.

Таким образом, по определению

.

Число a называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования, отрезок – отрезком интегрирования.

Теорема существования определенного интеграла

Определение. Функция называется интегрируемой на отрезке , если существует как предел последовательности интегральных сумм.

Возникает вопрос: какими свойствами должна обладать функция, чтобы она была интегрируемой? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, которую примем без доказательства.

1. О существовании определенного интеграла. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Основные свойства определенного интеграла

, .

,

Формула Ньютона-Лейбница.

1. Если F(x) — какая-то первообразная непрерывной функции , то справедлива формула

Эта формула называется формулой Ньютона—Лейбница.

Примеры.

1. .

2. .