- •Содержание
- •Введение
- •Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Тематический план дисциплины
- •Программа курса
- •Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •Тема 2. Элементы математического анализа.
- •Тема 3. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики.
- •Планы аудиторных занятий
- •Методические рекомендации по изучению дисциплины и по организации самостоятельной работы студентов
- •Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •1.1. Матрицы и определители
- •1.2.Действия над матрицами.
- •1.3.Системы линейных уравнений.
- •Элементы аналитической геометрии
- •Тема2 Элементы математического анализа
- •2.1. Функции одной переменной. Элементарные функции (фоп)
- •2.2. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •2.3. Дифференцируемые функции одной переменной
- •2.4. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства
- •Интегрирование функций. Таблица основных формул интегрирования
- •2.5. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, интегрирование по частям, замена переменной Непосредственное интегрирование
- •Определенный интеграл
- •Методы интегрирования
- •Тема 3. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики.
- •Основные понятия теории вероятностей
- •Понятия пространства элементарных событий и случайного события. Основные формулы комбинаторики
- •2. Геометрическое определение вероятности
- •3.2. Случайные величины
- •3.3.Элементы математической статистики
- •Примеры контрольных заданий.
- •Литература
- •Вопросы для подготовки к экзамену
Элементы аналитической геометрии
Опорный конспект
1. Прямая на плоскости , - уравнение с угловым коэффициентом. - уравнение пучка.
- общее уравнение . , - угол между и . , . |
. 2. Плоскость в пространстве , . - общее уравнение . , - угол между и . |
3 . Прямая в пространстве , - угол между и . |
4 . Кривые второго порядка на плоскости 1 . Эллипс: - г. м. т. , , , - фокусы. , . 2. Гипербола : г. м. т. , , , - фокусы. , . 3. Парабола: г. м. т. , , .
|
Тема2 Элементы математического анализа
2.1. Функции одной переменной. Элементарные функции (фоп)
Опорный конспект
1. Элементы теории множеств , , , . |
2. Функции , - область определения, - область значений, - независимая переменная (аргумент), - зависимая переменная (функция), . |
|
3. Основные элементарные функции. Элементарные функции |
||
1 . , .
|
|
|
2 . , - степенная, и зависят от . |
||
3 . , - показательная,
|
|
|
4. - логарифмическая, , . |
|
|
5.Тригонометрические:
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Функции. Область определения. Способы задания
О: Функцией , определённой на множестве и принимающей значения на множестве , называется такое правило соответствия между этими множествами, при котором для каждого существует единственный элемент : , , : .
Множество - область определения функции; - область значений функции; - независимая переменная; - зависимая переменная (функция.)
На языке геометрии функция отображает множество на множество , тогда - образ , - прообраз .
Пример. Функция , , .
Если правило соответствия задаёт для каждого значения несколько или бесконечно много значений , то его называют многозначной функцией. При исследовании таких функций выбирают интервалы, где они однозначны.
Наиболее часто встречается три способа задания функции: аналитический, графический, табличный.
При аналитическом способе функция задаётся одной или несколькими формулами, действующими на непересекающихся частях области определения (например, ).
При графическом способе функция задаётся кривой (графиком) в плоскости , причём любая прямая, параллельная оси , пересекает кривую не более чем в одной точке.
|
Рис. 4.1. |
Некоторые свойства функций.
10. Функция называется возрастающей на , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции: , убывающей на , если . Функция, только возрастающая или убывающая на называется монотонной.
Например, возрастает на и убывает на .
20. Функция называется чётной, если , нечётной при .
Например, - чётная, - нечётная функции.
30. Функция , называется периодической с периодом , если .
Например, - периодическая с периодом .
40. Функция называется обратной к функции , устанавливающей взаимно-однозначное соответствие между и , если выражает то же соответствие, причём , .
Например, обратная к при , .
Основные элементарные функции. Элементарные функции
К основным элементарным функциям относятся:
постоянная ;
степенная , , - задано;
показательная , , ;
логарифмическая , , (обратная к показательной);
тригонометрические , , , ;
обратные тригонометрические , , , .
Области определения, значения этих функций и их графики приведены в опорном конспекте.
Обратные тригонометрические функции являются многозначными (бесконечно значными). При действиях с ними берутся их так называемые главные значения, заключённые в указанных в опорном конспекте № 4 интервалах.
О: Сложной функцией (или суперпозицией) называется такая функция, для которой:
, , , , , .
Например, , .
Пользуясь понятием сложной функции, дадим определение элементарной функции.
О: Элементарной функцией называется функция, записанная одной формулой, которая составлена из основных элементарных функций с помощью символов четырёх арифметических действий ( , , , ) и операции суперпозиции функций.
Например, , , .