4. Элементы аналитической геометрии

Опорный конспект

1. Прямая на плоскости , - уравнение с угловым коэффициентом. - уравнение пучка. - общее уравнение . , - угол между и . , .

. 2. Плоскость в пространстве , . - общее уравнение . , - угол между и .

3 . Прямая в пространстве , - угол между и .

4 . Кривые второго порядка на плоскости 1 . Эллипс: - г. м. т. , , , - фокусы. , . 2. Гипербола : г. м. т. , , , - фокусы. , . 3. Парабола: г. м. т. , , .

Тема2 Элементы математического анализа

2.1. Функции одной переменной. Элементарные функции (фоп)

Опорный конспект

1. Элементы теории множеств , , , .	2. Функции , - область определения, - область значений, - независимая переменная (аргумент), - зависимая переменная (функция), .
3. Основные элементарные функции. Элементарные функции
1 . , .
2 . , - степенная, и зависят от .
3 . , - показательная,
4. - логарифмическая, , .
5.Тригонометрические:

Функции. Область определения. Способы задания

О: Функцией , определённой на множестве и принимающей значения на множестве , называется такое правило соответствия между этими множествами, при котором для каждого существует единственный элемент : , , : .

Множество - область определения функции; - область значений функции; - независимая переменная; - зависимая переменная (функция.)

На языке геометрии функция отображает множество на множество , тогда - образ , - прообраз .

Пример. Функция , , .

Если правило соответствия задаёт для каждого значения несколько или бесконечно много значений , то его называют многозначной функцией. При исследовании таких функций выбирают интервалы, где они однозначны.

Наиболее часто встречается три способа задания функции: аналитический, графический, табличный.

При аналитическом способе функция задаётся одной или несколькими формулами, действующими на непересекающихся частях области определения (например, ).

При графическом способе функция задаётся кривой (графиком) в плоскости , причём любая прямая, параллельная оси , пересекает кривую не более чем в одной точке.

Рис. 4.1.

Е сли функция задана аналитически, то её график можно построить. Например, функция имеет график, изображённый на рис. 4.1. Задание функции несколькими формулами также называют логическим или алгоритмическим способами. Например, функция Дирихле: , если рационально, , если иррационально.

Некоторые свойства функций.

1⁰. Функция называется возрастающей на , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции: , убывающей на , если . Функция, только возрастающая или убывающая на называется монотонной.

Например, возрастает на и убывает на .

2⁰. Функция называется чётной, если , нечётной при .

Например, - чётная, - нечётная функции.

3⁰. Функция , называется периодической с периодом , если .

Например, - периодическая с периодом .

4⁰. Функция называется обратной к функции , устанавливающей взаимно-однозначное соответствие между и , если выражает то же соответствие, причём , .

Например, обратная к при , .

Основные элементарные функции. Элементарные функции

К основным элементарным функциям относятся:

1. постоянная ;

2. степенная , , - задано;

3. показательная , , ;

4. логарифмическая , , (обратная к показательной);

5. тригонометрические , , , ;

6. обратные тригонометрические , , , .

Области определения, значения этих функций и их графики приведены в опорном конспекте.

Обратные тригонометрические функции являются многозначными (бесконечно значными). При действиях с ними берутся их так называемые главные значения, заключённые в указанных в опорном конспекте № 4 интервалах.

О: Сложной функцией (или суперпозицией) называется такая функция, для которой:

, , , , , .

Например, , .

Пользуясь понятием сложной функции, дадим определение элементарной функции.

О: Элементарной функцией называется функция, записанная одной формулой, которая составлена из основных элементарных функций с помощью символов четырёх арифметических действий ( , , , ) и операции суперпозиции функций.

Например, , , .