Тема 3. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики.

Для вероятностных задач необходимо уметь находить вероятность определенного события . При условии, что используется классическая вероятностная схема с равновероятными элементарными событиями, подсчет такой вероятности сводится к вычислению отношения , где - число всех элементарных событий, а - число элементарных событий, входящих, в событие . Обычно для вычисления значений и используются методы комбинаторики.

1. Основные понятия теории вероятностей

Опорный конспект

1. Понятие пространства элементарных событий и случайного события. Основные формулы комбинаторики. О: - множество всевозможных исходов опыта, - элементарное событие. О: Сс . - достоверное событие. - невозможное событие. - число перестановок из элементов, - число размещений из по , - число сочетаний из по .	3.Различные определения вероятности. Аксиоматическое и классическое определения О: Вероятность : 1) , 2) ; мера наступления . О: Вероятность , . , , . В классическом определении: , , - равновозможны, элементарных событий . Геометрическое определение. О: , измеримые множества из , , - попадание точки в , - мера . 3. Статистическое определение. О: - относительная частота; - число наступлений при повторении опыта раз.
2. Действия над случайными событиями. Сумма . Произведение . Разность . - дополнение до . , несовместны О: , , - полная группа событий .
4. Сложение и умножение вероятностей Т: О: - условная вероятность (наступления при условии, что произошло). , - независимы , . Т: , - независимы . Т: ,
	5. Схема испытаний Бернулли Вероятность появления случайного события в независимых испытаниях раз: , , .

Понятия пространства элементарных событий и случайного события. Основные формулы комбинаторики

Теория вероятностей изучает модели экспериментов, исходы которых неоднозначно определяются условиями опыта (случайного эксперимента).

О: Элементарными событиями называются всевозможные исходы опыта. Пространством (множеством) элементарных событий называется совокупность всех элементарных событий данного опыта: .

Будем считать, что - конечное или счётное множество.

Рассмотрим примеры.

1). Бросается игральная кость. Количество возможных исходов опыта , , - выпадение .

2). Подбрасывается монета. Количество возможных исходов , , - выпадение герба, - выпадение решки.

3). Подбрасываются две монеты. Количество возможных исходов , .

При определении числа элементарных событий, входящих в конечное пространство , используются такие понятия комбинаторного анализа, как перестановки, сочетания, размещения.

О: Соединениями называются различные комбинации из элементов множества , подчинённые определённым условиям. Перестановками из элементов называются соединения, содержащие - элементов и отличающиеся их порядком. Размещениями из элементов по ( ) называются соединения из элементов, составленные из данных элементов, отличающихся друг от друга либо самими элементами, либо их порядком. Сочетаниями из элементов по ( ) называются соединения из элементов, составленные из данных элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Для подсчёта числа соединений существуют следующие формулы:

число перестановок из элементов: ;

число размещений из элементов по : ;

число сочетаний из элементов по : .

Пример. .

1). Перестановки: , , , , , ; .

2). Размещения из 3-х элементов по 2: , , , , , ; .

3). Сочетания из 3-х элементов по 2: , , ; .

О: Случайным событием называется подмножество множества элементарных событий: . называется достоверным событием, (пустое множество) – невозможным.

В результате эксперимента случайное событие может произойти или не произойти.

Примеры.

1). Бросается игральная кость. Событие - появление цифры , - появление , т.е. в входят 3 элементарных события.

2). Бросаются две игральные кости. Пространство элементарных событий число элементарных событий 36. Пусть - появление таких цифр ( ), что их сумма .

3). Из карточек сложно слово из 6-ти букв «победа». Выбираем наугад две буквы, - обе выбранные буквы являются согласными. Пространство элементарных событий состоит из элементарных событий. Случайное событие состоит из элементарных событий.

. Действия над событиями

Действия над случайными событиями и отношения между ними определяются по аналогии с действиями и отношениями в теории множеств.

Обозначим , если - элементарный исход события ; , если событие влечёт за собой ; .

Равенство (эквивалентность) событий: , если и .

О: Суммой событий и называется их теоретико-множественное объединение, т.е. событие, состоящее из элементарных событий : или .

О: Произведением событий и называется их теоретико-множественное пересечение, т.е. событие, состоящее из элементарных событий : и .

О: Разностью событий и называется их теоретико-множественная разность, т.е. событие, состоящее из элементарных событий : : , но .

О: Противоположным событием для события называется теоретико-множественное дополнение до , т.е. происходит тогда, когда не происходит.

Если изобразить геометрически областью на плоскости, а элементарные события - элементами этой области, то действия над событиями можно изобразить схематически (рис. 13.1).

Рис. 13.1

Примеры.

1. - выигрыш по 1 займу; - выигрыш по 2 займу. Тогда - выигрыш хотя бы по одному из займов (в частности, сразу по двум).

2. - прохождение I тура на конкурсе, - прохождение II тура. Тогда - успешное прохождение I и II туров.

3. Бросается монета. - выпадение герба, - выпадение решки.

Множество случайных событий и образуют Булеву алгебру – алгебру событий, связанных с заданным экспериментом.

О: События и называются несовместными, если наступление события исключает наступление события , т.е. . В этом случае используют .

Таким образом , - несовместные события.

О: Множество (система) событий , , …, , …, , называется полной группой событий , если , , .

Пример. На трёх станках производятся болты, которые складываются вместе. Берут наугад один болт. За считаем множество всех болтов, а полная группа , где - случайное событие, состоящее в том, что болт сделан на -м станке.

Различные определения вероятности

1. Аксиоматическое и классическое определения

Пусть с данным опытом связано конечное или счётное пространство элементарных событий .

О: Вероятностью элементарного события называется действительное число, удовлетворяющее условиям

1) ; 2)

и определяющее меру наступления .

Рассмотрим теперь случайное событие .

О: Вероятностью случайного события называется действительное число, определяемое формулой

. (13.1)

Из определения следует, что , , . Таким образом, .

Пусть , причём все являются равновозможными и содержит элементарных событий. Тогда все одинаковы, т.е. и по (12.1)

. (13.2)

Формулу (13.2), являющуюся частным случаем (13.1), принимают за классическое определение вероятности в случае равновозможных попарно несовместных исходов опыта. События называют в этом случае благоприятствующими наступлению .

Примеры.

1. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших цифр .

Пространство содержит 36 равновозможных элементарных событий (см. пример 2 п. 13.1), случайное событие - 6 событий, т.е. .

2. В урне 2 зелёных, 4 жёлтых, 7 красных, 10 белых шаров. Вынимают один шар. Какова вероятность того, что он зелёный?

Пространство состоит из событий, случайное событие из двух событий, т.е. .