3.2. Случайные величины

Опорный конспект

14.1. Дискретные и непрерывные СВ. Закон распределения О: СВ , , . Дискретная СВ . Непрерывная СВ . О: Ряд распределения дискретной СВ – табл.: . О: Функция распределения СВ : , . О: Плотность распределения непр.СВ: , , ,	14.3. Примеры распределений дискретных и непрерывных СВ. О: Равномерное распределение дискр. СВ , . , . О: Биноминальное распределение СВ , ; определены в п. 13.5. , . О: Распределение Пуассона СВ , , определено в п. 13.5 . О: Равномерное распределение непрерывной СВ , , , , . О: Нормальное распределение СВ , , .
14.2. Числовые характеристики СВ. О: Математич. ожидание дискретной СВ , . Математическое ожидание непрерывная СВ с плотностью вероятности . Дисперсия СВ . Среднее квадратичное отклонение СВ .

Закон распределения

Пусть с некоторым экспериментом связано пространство элементарных событий .

О: Случайной величиной (СВ) называется функция .

Рассмотрим СВ двух видов: дискретные и непрерывные. Область возможных значений дискретной СВ состоит из конечного или счётного числа точек, а область возможных значений непрерывной СВ является некоторым интервалом.

Примеры. 1) Дискретная СВ - число очков, выпавших при однократном бросании кости: .

2) Дискретная СВ – индикатор события :

3) Непрерывная СВ – отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе.

О: Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими этим значениям вероятностями.

Для дискретной СВ закон распределения может быть задан в виде ряда распределения или в виде функции распределения, для непрерывной СВ ‑ в виде функции распределения и плотности распределения.

Обозначим вероятность того, что примет значение .

О: Рядом распределения дискретной СВ называется закон распределения, заданный в виде таблицы значений и вероятностей ; : .

Графическое изображение, представленное на рис. 14.1, называется многоугольником распределения.

Рис. 14.1.

Пример. Бросается игральная кость, , , .

Ряд распределения

О: Функцией распределения вероятностей СВ называется , , т.е. значение функции в т. равно вероятности того, что СВ .

Если для дискретной СВ построен ряд распределения, то функция распределения имеет вид:

её график – ступенчатая функция (рис.14.2).

Рис. 14.2.

П ример. Бросается игральная кость .

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1⁰. - неубывающая функция;

2⁰. .

Г рафик непрерывной СВ имеет вид кривой, изображённой на рис. 14.3.

Рис. 14.3.

Пусть для непрерывной СВ её функция распределения имеет непрерывную производную .

О: Плотностью распределения вероятностей (плотностью распределения) для функции распределения непрерывной СВ называется функция такая, что .

Так как неубывающая функция, то .

На основании формулы Ньютона-Лейбница:

. (14.1)

Используя определение несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования, функцию можно записать через плотность распределения :

.

Формула справедлива и в случае конечного числа точек разрыва 1 рода функции . Из достоверности события имеем

.

Числовые характеристики случайных величин

Для характеристики среднего значения СВ вводится математическое ожидание.

О: Математическим ожиданием дискретной СВ с законом распределения называется

. (14.2)

О: Математическим ожиданием непрерывной СВ с плотностью распределения называется

(14.3)

Математическое ожидание имеет следующие свойства:

1⁰. Математическое ожидание постоянной равно ей самой: , .

2⁰. , .

3⁰. .

Если задана дискретная СВ с законом распределения , то математическое ожидание определяется как в случае абсолютной сходимости ряда справа. В противном случае СВ не имеет математического ожидания.

Для характеристики степени разбросанности значений СВ около её среднего значения вводится дисперсия.

О: Дисперсией СВ называется

. (14.4)

О: Средним квадратичным отклонением СВ называется

. (14.5)

Используя (14.2) и (14.4) получаем для дискретной СВ формулу .

Для непрерывной СВ с плотностью вероятности из (14.3) и (14.4) имеем .

Используя свойства , запишем в другом виде:

(14.6)

Дисперсия удовлетворяет следующим свойствам:

1⁰. , .

2⁰. , .

Свойства следуют из формулы (14.6) и свойств 1⁰, 2⁰ математического ожидания.

Примеры.

1) Бросается игральная кость.

. .

.

2) Вращающееся симметричное колесо останавливается вследствие трения. Угол , образованный некоторым фиксированным подвижным радиусом колеса с неподвижным радиусом после остановки колеса есть случайная величина с плотностью распределения:

Тогда, ,

, .

Примеры распределений дискретных и непрерывных СВ

1. Примеры распределения дискретной СВ

О: Распределение дискретной СВ называется равномерным, если оно задаётся рядом .

Для равномерного распределения по (14.2), (14.6): , .

Пример такого распределения приведён в п. 14.1.

О: Распределение дискретной СВ называется биномиальным, если оно задаётся рядом

,

где и имеют тот же смысл, что и для схемы испытаний Бернулли.

Для биномиального распределения СВ математическое ожидание .

Дисперсия для биномиального распределения вычисляется по формуле .

Пример. Бросается игральная кость 10 раз. Событие - появление некоторой цифры, например 1, при каждом бросании, СВ - число возможных наступлений при десяти бросаниях кости. Тогда:

, , , , .

О: Распределение дискретной СВ называется распределением Пуассона, если оно задано рядом

, , и удовлетворяют тем же условиям, что и в формуле Пуассона.

Для распределения Пуассона .

2. Примеры распределений непрерывной СВ

О: Непрерывная СВ , все возможные значения которой заполняют отрезок , называется равномерно распределённой, если её плотность вероятности на , .

Так как , то , т.е плотность равномерного распределения

График плотности распределения изображён на рис. 14.4.

Рис. 14.4.

Найдём по (11.3): .

Дисперсию получим по (14.6), используя . .

Вероятность попадания СВ не отрезок находится по формуле (14.1): .

Пример. Непрерывная СВ имеет равномерный закон распределения на . Определить: 1. Вероятность попадания в ; 2. , .

Решение. По условию плотность распределения Отсюда 1) ; 2). ; .

О: Непрерывная СВ называется нормально распределённой, если её плотность распределения , , , - некоторые постоянные.

Функция нормального распределения ,

где смысл параметров и : , и следовательно, ‑ среднеквадратичное отклонение.

Рис. 14.5.

Г рафик плотности распределения (рис. 14.5) име-ет максимум в точке (значение в котором плотность имеет максимум, называется модой СВ ).

Пусть необходимо найти вероятность того, что СВ попадёт в промежуток . По (14.1)

. Нечётная функция называется функцией Лапласа. Имеются таблицы значений этой функции. Тогда:

. (14.7)

Пример. СВ имеет нормальное распределение с параметрами , . Определить .

Решение. По таблице значений функции Лапласа находим , , т.е. по (14.6) .