3.3.Элементы математической статистики

Опорный конспект

15.1. Основные понятия математической статистики. О: Выборка -совокуп­ность значений СВ , полученных в результате независимых экспериментов. О: Статистический ряд: , , , , -относитель­ная частота, -частота появления . О: Статистический ряд по интервалам -число значений СВ , попавших в . Графическое изображение О: Эмпирическая функция распределения:

15.2. Определение неизвестных параметров распределения О: Для выборки среднее арифметическое ,дисперсия ; для статистического ряда: , ; , -числовые характеристики СВ с выборкой , . О: Доверительный интервал , - точность оценки параметра в функции распределения СВ , -коэффициент доверия. Для нормального распределения с параметрами при . Для двумерной СВ с выборкой выборочный коэффициент корреляции , .

Основные понятия математической статистики Построение эмпирических законов распределения

Математическая статистика – наука о методах обработки экспериментальных данных, полученных при изучении закономерностей в случайных массовых явлениях. Способ статистической обработки, равно как и ценность её результатов полностью зависит от положенной в основу вероятностной модели, которая должна объяснить вероятностную структуру наблюдений.

Пусть произведено независимых экспериментов и получено значений , ,…, случайной величины .

О: Генеральной совокупностью называется множество всех возможных значений случайной величины . Выборкой объёма называется совокупность значений , полученных в результате независимых экспериментов.

По исследованию выборки необходимо сделать правильный вывод о СВ . Например, по толщине покрытия 100 деталей из серии необходимо сделать вывод о качестве покрытия деталей. В этом случае классическую вероятность заменяют статистической.

О: Статистическим рядом называется таблица, в которой записываются в упорядоченном по возрастанию виде различные элементы выборки , , и относительные частоты ( - частота появления ):

, . (15.1)

При большом числе измерений анализ такого материала затруднителен. Поэтому поступают следующим образом.

Составляется статистический ряд по интервалам или вариационный ряд. Весь интервал полученных значений величины разбивается на интервалы , ,…, , подсчитываются относительные частоты , где - число значений величины , попавших в , и строится таблица:

(15.2 )

Графическими изображениями статистических рядов являются полигон и гистограмма.

Полигон состоит из отрезков, соединяющих точки , , где в случае ряда по интервалам - срединное значение интервала (рис. 15.1)

Рис 15.1.		Рис. 15.2.

Гистограмма служит для изображения интервального статистического ряда (15.2). По оси откладывают интервалы , варьирования СВ и на этих отрезках строят прямоугольники с высотами (рис. 15.2).

О: Эмпирической функцией распределения СВ , для которой составлен статистический ряд (15.2), называется

При малых , и больших функция близка к теоретической функции распределения .

Пример. Толщина покрытия стального шарика в гальваническом производстве – случайная величина . Из партии отобрали случайным образом 20 шариков и измерили толщину покрытия в микрометрах.

: 6,99; 5,10; 5,61; 7,25; 5,45; 5,88; 7,92; 6,10; 5, 90; 6,22; 6,55; 6,34; 6,66; 6,48; 6,76; 6,87; 6,91; 7,05; 7,30; 7,70.

Построить статистический ряд по интервалам, гистограмму и график .

Решение. Определяем , , т.е. все значения выборки . Разобьём этот интервал на 6 частей с и построим статистический ряд.

Номер интервала	1	2	3	4	5	6
Интервал	[5,0;5,5)	[5,5;6,0)	[6,0;6,5)	[6,5;7,0)	[7.0;7,5)	[7,5;8]
Относит. частота	2/20	3/20	4/20	6/20	3/20	2/20

Гистограмма статистического ряда представлена на рис. 15.3. График эмпирической функции распределения изображён на рис. 15.4

Рис. 15.3.	Рис.15.4

Определение неизвестных параметров распределения и выборочного коэффициента корреляции

Выборочные числовые характеристики. Оценки параметров

Для выборки СВ и для статистического ряда определяются следующие числовые характеристики.

О: Среднее арифметическое выборки это ,

среднее арифметическое статистического ряда (15.1): . Дисперсия выборки это ,

дисперсия статистического ряда (15.1) ‑ .

Среднее квадратичное отклонение: .

Пусть случайная величина с функцией распределения , где - неизвестный параметр распределения, т.е. неизвестная числовая характеристика СВ . Например, имеет нормальное распределение с неизвестным параметром . Рассмотрим выборок , , этой СВ . Обозначим через оценку величины , её можно представить как случайную величину, зависящую от , , т.е. . Чтобы выбрать в некотором смысле лучшую оценку , рассматриваются свойства оценок: несмещённость, состоятельность, эффективность.

О: Оценка параметра называется несмещённой, если её математическое ожидание , состоятельной, если по вероятности сходится к при , т.е. . Несмещённая оценка называется эффективной, если её дисперсия - наименьшая среди всех дисперсий, вычисляемых для оценок по выборкам одинакового объёма.

Т: Среднее арифметическое выборки СВ , имеющей математическое ожидание и дисперсию , является несмещённой и состоятельной оценкой математического ожидания. В случае нормального распределения СВ эта оценка является эффективной.

Пример. Найти параметры распределения СВ в примере п. 15.1, если имеет нормальный закон распределения.

Решение. Плотность вероятности для нормального закона распределения , неизвестные параметры - , . Т.к. (мкм),

(мкм²), то , .

Доверительные интервалы параметров

Рассмотренные выше оценки параметров являются точечными. При малом объёме выборки, чтобы избежать грубых ошибок, вводят интервальную оценку. Обозначим точность оценки параметра через , т.е. , а через - вероятность , т.е. . Последнее условие означает, что интервал покрывает значение с заданной вероятностью . Он называется доверительным интервалом, - коэффициентом доверия. На практике выбирают достаточно близким к 1.

Величины , и объём выборки связаны между собой. Если определены две из них, то можно определить третью.

Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами , .

В качестве оценки берётся . Все элементы , , выборки случайные и имеют то же распределение, что и с параметрами , . Тогда по (15.6) в силу нечётности функции Лапласа : . Обозначим , тогда .

Если задано, то находится по таблице функции Лапласа. Интервал с вероятностью покрывает значение и является доверительным для . При этом предполагается, что известно. Если заменить приближённым значением , то коэффициент доверия уменьшится.

Пример. Найти доверительный интервал с коэффициентом доверия 0,95 для и .

Решение. По таблице Лапласа . Так как , , то имеем , доверительный интервал и .

Выборочный коэффициент корреляции

Пусть проведено независимых испытаний, в результате которых получены выборочные значения двумерной СВ : ( , , …, ).

Аналогично случаю одномерной СВ определяются выборочные числовые характеристики: , , , , .

О: Выборочным коэффициентом корреляции СВ называется .

Пример. Дана выборка СВ :(2,2), (4,5), (6,7), (8,10). Найти .

Решение. , , , , , . Коэффициент корреляции близок к 1, т.е. зависимость между , близка к линейной.

Задача.

В таблице представлены данные по некоторой бригаде, где признак Х − трудовой стаж и Y − разряд.

Х	8	9	5	7	5	7	9	5	6	5
Y	5	6	2	4	6	5	7	6	4	3

1. Для признака Х построим вариационный ряд. Для этого расположим данные в порядке возрастания: 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9.

2. Полигоном называется ломанная линия, соединяющая точки (x₁, n₁), (x₂, n₂),.., (x_r, n_r), где n_i − частота значения х_i.

хi	5	6	7	8	9
ni	4	1	2	1	2

Рис.1 Полигон распределения

3.1 Мода распределения – это наиболее часто встречающееся значение ряда.

3.2 Выборочное среднее находится по формуле

= (х₁+х₂+х₃+.. +х_n)/n.

Средний стаж равен (8+9+5+7+5+7+9+5+6+5)/10=6,6.

1. Выборочная дисперсия распределения находится по формуле:

.

В нашем примере .

4.2 Оценка стандартного отклонения определяется как корень квадратный из выборочной дисперсии: .

4.3 Формула коэффициента вариации: .

Если С_v ≤ 10%, то варьирование считается слабым,

при 11% ≤ С_v ≤ 25% - средним, и значительным при С_v > 25%.

5. Доверительный интервал для оценки среднего значения нормального распределения при неизвестной дисперсии:

,

где - выборочная дисперсия, а значение находят по таблице “Квантили распределения Стьюдента”.

4. В таблице представлены данные о работниках бригады: разряд (Х) и стаж работы (Y, лет).

X	1	1	2	3	6
Y	1	2	3	4	5

Чаще всего, чем больше стаж работы, тем выше квалификация рабочего и, следовательно, выше его разряд. Поэтому в нашем примере стаж работы (Х) – независимая переменная, а разряд (Y) – зависимая от Х переменная.

Для построения корреляционного поля (диаграммы рассеивания) на координатную плоскость нанесем точки с координатами (1; 1), (1; 2), (2; 3), (3; 4), (6; 5) (рис.2). По конфигурации скопления точек мы можем предположить, что связь между стажем и разрядом есть, причем скорее всего эта связь линейная и положительная.

Найдем коэффициент линейной корреляции. Для удобства представим наши вычисления в виде следующей таблицы:

хi	yi			xiyi
1	1	1	1	1
1	2	1	4	2
2	3	4	9	6
3	4	9	16	12
6	5	36	25	30
∑ = 13	15	51	55	51

n = 5.

Выборочный коэффициент корреляции мы будем находить по следующей формуле:

.

, , , ,

.

Полученное значение коэффициента r = 0,92 очень близко к 1, что указывает на сильную зависимость между стажем и разрядом рабочего.

Построим линию регрессии Y на Х.

,

,

y =0,7х + 1,17.

Получаем следующий график.

Рис.2