17. Симплексний метод із штучним базисом. Ознака оптимальності плану із штучним базисом.

Для задач записаних в канонічному вигляді можна безпосередньо вказати їх опорний план, якщо серед векторів аj j=1,n ,компонентами яких є коефіцієнти при невідомих в системі рівнянь даної задачі є рівно m-одиничних векторів, але такий випадок існує незавжди.

Якщо задача подана в канонічному вигляді і система обмежень не містить одиничної матриці, то отримати одиничну матрицю можна в систем обмежень додати додаткові змінні . Такі змінні називають штучними.

Згідно з симплексним методом до базису вводять змінні, які покращують значення цільової функції. Для задачі на максимум вони мають його збільшувати. Отже, для того, щоб у результаті процедур симплексних перетворень виключалися з базису штучні змінні, потрібно ввести їх у цільову функцію з від’ємними коефіцієнтами. Тобто цільова функція набуде вигляду:

У результаті додавання змінних у рівняння системи область допустимих розв’язків задачі розширилась. Задачу з такою системою обмежень називають розширеною, або М-задачею. Якщо в оптимальному плані розширеної задачі штучні змінні , то план є оптимальним планом початкової задачі.

Цільова функція М задачі складається з 2-ох виразів, тому в симплекс-таблиці для неї відводяться 2 рядка, де М- дуже велике додатнє число.

Так як М-задача має опорний план, то її можна розв’язати симплекс-методом на основі слідуючих тверджень:

1.Якщо в оптимальному плані М-задачі всі штучні змінні дорівнюють нулю, то одержаний план єоптимальним вихідної задачі.

2.якщо в оптимальному плані М-задачі по крайній мірі 1 з штучних змінних додатня при довільному М, то вихідна задача не має жодного плану (система обмежень несумісна)

3.якщо М задача не має розвязку, то й М задача не має розвязку

18. Двоїста задача. Правила побудови двоїстої задачі. Симетричні й несиметричні двоїсті задачі.

Теорія двоїстості – це теорія, яка вивчає загальні властивості пари тісно пов’язаних між собою двоїстих (спряжених) ЗЛП. При цьому кожній ЗЛП однозначно можна поставити у відповідність двоїсту ЗЛП.

Правила побудови двохстої:

1.упорядкування запису вихідної задачі

Якщо цільова функція вихідної задачі на max, то обмеження повинні мати вигляд “<=”, а якщо на min, то “>=”. Виконання цих умов досягається множенням відповідних нерівностей на (-1)

2,число змінних двоїстої задачі = числу співвідношень в обмеженнях вихідної задачі

3. Якщо вихідна задача на max, то двоїста буде на min і навпаки

4. Матриця з коефіцієнтів при невідомих двоїстої задачі Ат є транспонованою матрицею від А, складеною з коефіцієнтів при невідомих вихідної задачі.

5.Коефіцієнтами при змінних у цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени системи обмежень прямої задачі.

6.Правими частинами системи обмежень дв. задачі є коефіцієнти при змінних у цільовій функції прямої задачі.

7.Якщо на j-ту змінну вихідної задачі накладена умова невідємності, то j-та ум

Ова двоїстої задачі буде нерівністю вигляду «більше рівне», якщо змінна може приймати і додатні і відємні значення, то j-те співвідношення двоїстої задачі буде рівнянням і навпаки.

Пари задач лінійного програмування бувають симетричні та несиметричні.

Якщо m1= m і n1=n, то такі пари взаємоспряжених задач є симетричними, а в протилежному випадку – несиметричними.

У симетричних задачах обмеження прямої та двоїстої задач є лише нерівностями, а змінні обох задач можуть набувати лише невід’ємних значень.

У несиметричних задачах деякі обмеження прямої задачі можуть бути рівняннями, а двоїстої — лише нерівностями. У цьому разі відповідні рівнянням змінні двоїстої задачі можуть набувати будь-яких значень, не обмежених знаком.