33.Квадратична функція та її властивості.

Квадратичною функцією називають функцію, задану формулою  , де x – аргумент; а,  , с – константи, причому  .

Властивості:

1. Координати вершини параболи  : xв=  ; yв=    2. Точки перетину параболи з осями коор­динат є такими: Абсциса точки перетину параболи з віс­сю Oy дорівнює 0, тоді  ,  . Ордината точок перетину параболи з віс­сю Ox дорівнює 0, тоді, щоб знайти абсциси цих точок, треба розв’язати квадратне рівняння  . Якщо це рівняння має два різних корені   і  , графік перетинає вісь Ox у точках  ,  . Якщо це рівняння має один корінь (тобто  ), то цей корінь  . Це означає, що вершина параболи лежить на осі Ox і має координати  . Якщо це рівняння не має коренів  , парабола не перетинає вісь Ox. 3. Напрям віток параболи залежить від знака коефіцієнта a. Якщо  , вітки параболи напрямлені вгору. Якщо  , вітки параболи напрямлені вниз. 4. Парабола є симетричною відносно прямої  . Тобто вершини параболи На рисунках, поданих нижче, наведені ескізи розміщення параболи на координатній площині в деяких випадках. 1)  ;  ; ;  ; ; xв . 2)  ;  ; x1 = x2 = xв=  =  ; . 3)  ;  ; xв> 0;  . 4)  ;  ; ; ,  ; xв=  . 5)  ;  ; ; x1= x2= xв=  <0. 6)  ;  ; ; xв=  .

34.Постановка задачі квадратичного програмування та її математична модель.

Задача, що полягає у визначеннi максимального (мiнiмального) значення функцiї при обмеженнях

де  - негативно (позитивно)-напiввизначена квадратична форма, називається задачею квадратичного програмування.

Для сформульованої задачi квадратичного програмування функцiя Лагранжа запишеться у видi Якщо функцiя   має сiдлову точку  , то в цiй точцi виконуються спiввiдношення (7)-(12). Вводячи тепер додатковi змiннi  , що обертають нерiвностi (7) i (10) у рiвностi, перепишемо вирази (7)-(12), записанi для задачi квадратичного програмування, у такий спосiб:

Таким чином, щоб знайти рiшення задачi квадратичного програмування (13)-(15), потрiбно визначити невiд'ємне рiшення систем лiнiйних рiвнянь (16) i (17), що задовольнять умовам (18) i (19). Це рiшення можна знайти за допомогою методу штучного базису, застосованого для знаходження максимального значення функцiї   при умовах (16), (17), (20) з урахуванням (18) i (19). Тут  - штучнi змiннi, введенi в рiвняння (16) i (17).

Використовуючи метод штучного базису i додатково з огляду на умови (18) i (19), пiсля кiнцевого числа крокiв або встановимо нерозв'язнiсть, або одержимо оптимальний план вихiдної задачi.

Отже, процес знаходження рiшення задачi квадратичного програмування (13)-(15) включає такi етапи:

1. Складають функцiю Лагранжа.

2. Записують у видi виразiв (16)-(20) необхiднi i достатнi умови iснування сiдлової точки для функцiї Лагранжа.

3. Використовуючи метод штучного базису, або встановлюють вiдсутнiсть сiдлової точки для функцiї Лагранжа, або знаходять її координати.

4. Записують оптимальний розв'язок вихiдної задачi i знаходять значення цiльової функцiї.