13. Означення планів задачі лінійного програмування (допустимий, опорний, оптимальний).

(2.1)

за умов:

(2.2)

(2.3)

Вектор Х = (х₁, х₂, …, х_n), координати якого задовольняють систему обмежень (2.2) та умови невід’ємності змінних (2.3), називається допустимим розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.

Допустимий план Х = (х₁, х₂, …, х_n) називається опорним планом задачі лінійного програмування, якщо він задовольняє не менше, ніж m лінійно незалежних обмежень системи (2.2) у вигляді рівностей, а також обмеження (2.3) щодо невід’ємності змінних.

Опорний план Х = (х₁, х₂, …, х_n), називається невиродженим, якщо він містить точно m додатних змінних, інакше він вироджений.

Опорний план , за якого цільова функція (2.1) досягає масимального (чи мінімального) значення, називається оптимальним розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.

14. Побудова опорного плану задачі лінійного програмування, перехід до іншого опорного плану.

Для побудови початкового опорного плану представимо систему обмежень у вигляді нуль рівностей, а всю інформацію про ЗЛП заносимо в симплекс-таблицю. Послідовно претворюємо вказану таблицю кроками МЖВ з розвязувальним елементом аks , на кожному кроці заміщуючи нулі в крайньому лівому стовпчику на відповідні змінні з верхнього рядка змінних, який назив. Вільними змінними, а змінні на які замінюються нулі назив. Базисними змінними.

В ибір розвязувального елемента аks. Вибір розвязувального стовпчика, коли bі>0. На етапі побудови за розвязувальним стовпчиком s може бути вибраний довільний стовпчик, але для підвищення ефективності алгоритму краще вибирати стовпчик якому відповідає найменше відємне значення в рядку f. Розвязувальний рядок К вибирається за найменшим значенням симплексного відношення: ___

Q_к = min b_i / а_{is ,} i = 1, m.

i:ais>0

На перетині розвязувального рядка і розвязувального стовпчика знаходиться розвязувальний елемент.

Вибір розвязувального стовпчика, коли bі<0. Вибираємо довільний рядок і якому відповідає bі<0. В ньому вибираємо відємний елемент, а відповідний йому стовпчик беремо за розвязувальний (вважаємо що обмеження задачі сумісні). Складаємо відношення елементів стовпчика вільних членів до відповідних елементів розвязувального стовпчика, які мають однакові знаки. За найменшим значенням симплексного відношення знаходимо розвязувальний рядок. На перетині розвязувального рядка і розвязувального стовпчика знаходиться розвязувальний елемент. Зауваження. Якщо змінна Хj входить тільки в одне рівняння системи обмежень рівнянь ЗЛП канонічної форми запису з коефіцієнтом +1, тоді її можна віднести до базисних і тому відповідне рівняння не потрібно записувати в вимплекс таблицю у вигляді нуль-рівностей, а записувати у вигляді розвязку відносно Хj. Це дозволить скоротити процес побудови Х0.

Знаходження елементів на етапі побудови здійснюється таким чином: елементи розвязувального рядка діляться на розвязувальний елемент, а інші елементи визначаються за правилом умовного прямокутника. Процес побудови закінчується після того, як всі нулі у крайньому лівому стовпчику будуть замінені відповідними Хі.

Визначення нових опорних планів полягає у виборі вектора, який слід ввести в базис, і вектора, який необхідно вивести з базису. Така процедура відповідає переходу від одного базису до іншого за допомогою методу Жордана—Гаусса.

15. Теорема про оптимальність розв’язку задачі лінійного програмування симплекс-методом.

Використовуються 2 теореми оптимальності опорного плану.

Теорема 1 (ознака оптимальності опорного плану). Опорний план ЗЛП в канонічному вигляді є оптимальним, якщо всі оцінки ∆_j, j=1,n в f-рядку є невідємними, при цьому якщо в f-рядку відсутні і нульові елементи, то оптимальний план єдиний. Якщо ж серед оцінок ∆_j відсутні відємні значення, але для деякого хоча б одного j=k оцінка нульова і у відповідному стовпчику k є хоча б один додатній коефіцієнт, то ЗЛП має нескінчену величину оптимальних планів, при цьому загальний вираз для всіх оптимальних планів визначається за формулою Х = λх1 + (1-λ) х2, 0 ≤ λ ≤1, де х1 і х2 деякі різні довільні розвязки ЗЛП. Якщо ж для деякого хоча б одного j=k оцінка є відємною, і у відповідному стовпчику серед чисел а і k відсутні додатні значення, то цільова функція необмежена на множині допустимих розвязків.

Теорема 2. Якщо опорний план ЗЛП не вироджений і ∆k < 0, і серед чисел а і k є хоча б один додатній елемент, то існує опорний план Х’ в якому виконується умова f(x’) ≥ f(X). Для цього стовпчик з відємним елементом в f-рядку беремо за розвязувальний, потім за мінімальним симплексним відношенням визначаємо розвязувальний рядок.

Зауваження. Якщо при розрахунку симплекс відношень зявиться кілька найменших відношень, то в новому опорному плані будуть нульові значення базисниз змінних, тобто план буде вироджений.