41. Платіжна матриця. Основна теорема теорії ігор. Принцип мінімаксу.

Економічна діяльність супроводжується невизначеністю та ризиками відносно доходів, витрат або прибутків, які є наслідком купівлі-продажу ресурсів, продуктів і послуг. Задачі з прийняття рішень щодо вибору альтернативи поділяють на 2 класи. По-перше, це задачі прийняття рішень за умов невизначеності, коли відсутня інформація про імовірність виникнення можливих станів природи. По-друге, це задачі прийняття рішень за умов ризику, коли імовірності виникнення можливих майбутніх станів навколишнього середовища вважаються відомими. Для розв

Їязання подібних задач теорія прийняття рішень має набір критеріїв. Інформацію про задачу подають у зручному для дослідження вигляді за допомогою матриці цінностей альтернатив, яку в літературі з менеджменту ще називають платіжною матрицею.

Теорема (основна теорема теорії ігор). Кожна скінченна гра має, принаймні, один розв'язок, можливий в області змішаних стратегій.

Максіміна принцип — принцип оптимальної поведінки гравців в теорії ігор.

Принцип максіміна полягає в намаганні максимізувати мінімальний виграш, має особливо велике значення в антагоністичних іграх, в яких призводить до отримання першим гравцем значення гри.

Слідуючи принципу максіміна, гравці часто вимушені застосовувати змішані стратегії.

Якщо (1)

Тоді в кожного гравця існують оптимальні стратегії, тобто, стратегії, на яких досягаються в (1) зовнішні екстремуми. Однак, навіть в найпростіших випадках рівність (1) може не мати місця. Наприклад, в матричній грі з матрицею виявляється Для того, щоб забезпечити реалізованість принципу максіміна, множини стратегій гравців розширюють розширюють до множини змішаних стратегій, які полягають в випадковому виборі гравцями своїх початкових стратегій, які називаються чистими, а функція виграшу визначається як математичне очікування виграшу в умовах застосування змішаних стратегій. В наведеному прикладі оптимальними змішаними стратегіями гравців є вибори гравцями обох своїх стратегій з ймовірностями 1/2, а значення гри дорівнює нулю.

Якщо множини A та B скінченні, то антагоністична гра називається матричною грою; для неї завжди існують оптимальні змішані стратегії у обох гравців. Якщо ж одна із множин A або B нескінченне, то антагоністична гра називається нескінченною.

Принцип максіміна для нескінченних антагоністичних ігор може здійснюватись (якщо рівність (1) не має місця) у вигляді рівності: В такому випадку оптимальною стратегією для гравців не існує, однак для будь якого ε > 0 існують ε-оптимальні стратегії (тобто, стратегії, які забезпечують досягнення значення гри з заданою точністю ε) у обох гравців.

Якщо обидві множини A та B нескінченні, то оптимальні змішані стратегії (і навіть ε-оптимальні) не завжди існують. Наприклад, в грі з функцією виграшу де стратегіями гравців є множини натуральних чисел.

42. Гра в чистих стратегіях. Поняття сідлової точки і її знаходження.

Страте́гія чи́ста — будь яка із доступних для гравця дій, передбачених правилами гри. Кожну чисту стратегію можна розглядати як вироджений випадок змішаної стратегії.

Сідлові́ то́чки — ситуації (a*, b*) в антагоністичних іграх з функцією виграшу H(a, b), для яких виконується подвійна нерівність: H(a, b*) ≤ H(a*, b*) ≤ H(a*, b) для всіх стратегій a гравця A, і для всіх стратегій b для гравця B.

Якщо уявити, що вісь b паралельна гірському хребту, а вісь a перпендикулярна йому, то сідлова точка буде відповідати перевалу через хребет.

Гра приходить до сідлової точки, у випадку, якщо гравці слідують принципу максіміна. Те саме поняття сідлових точок використовується в теорії математичному програмуванні та в теорії диференційних ігор.