31. Поняття про опуклі функції. Геометрична інтерпретація задачі опуклого програмування на площині.

Нехай задано n-вимірний лінійний простір Rⁿ. Функція , що задана на опуклій множині , називається опуклою, якщо для будь-яких двох точок та з множини X і будь-яких значень виконується співвідношення: .Якщо нерівність строга і виконується для , то функція називається строго опуклою. Опукле програмування розглядає методи розв’язування задач нелінійного програмування, математичні моделі яких містять опуклі або угнуті функції.Загальний вигляд задачі опуклого програмування такий: , , ; ,де , — угнуті функції.Аналогічний вигляд має задача для опуклих функцій.

Точка локального максимуму (мінімуму) задачі опуклого програмування є одночасно її глобальним максимумом (мінімумом).

Отже, якщо визначено точку локального екстремуму задачі опуклого програмування, то це означає, що знайдено точку глобального максимуму (мінімуму).

У разі обмежень-нерівностей задачу опуклого програмування розв’язують, застосовуючи метод множників Лагранжа.

Використовуючи теорему Куна — Таккера, маємо необхідні та достатні умови існування оптимального плану задачі опуклого програмування.

32. Сідлова точка та необхідні і достатні умови її існування. Теорема Куна-Таккера.

Для розроблення методів розв’язування окремих типів задач нелінійного програмування важливе значення має поняття сідлової точки, а також визначення необхідних і достатніх умов існування сідлових точок функції Лагранжа у (n + m)-вимірному просторі змінних

Точка називається сідловою точкою функції Лагранжа = , якщо для всіх виконується співвідношення: .

Для диференційовних функцій та знайдемо необхідні умови існування сідлової точки.

Маємо необхідні умови сідлової точки: для тих індексів j, де .

необхідна умова має вигляд: для тих індексів j, де .

то необхідною умовою є: , — довільного знака.

Узагальнення всіх випадків приводить до рівняння: .

встановлюємо необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці: для тих індексів і, де , для тих індексів і, де , для тих індексів і, де має довільний знак.Отже, справджується рівняння:

Сукупність співвідношень даних становить необхідні умови, які має задовольняти сідлова точка функції Лагранжа для точок, що належать множині . При цьому повинна мати частинні похідні по всіх компонентах векторів .

Теорема Куна—Таккера дає змогу встановити типи задач, для яких на множині допустимих розв'язків існує лише один глобальний екстремум зумовленого типу. Вона тісно пов'язана з необхідними та достатніми умовами існування сідлової точки

Розглянемо задачу нелінійного програмування, яку, не зменшуючи загальності, подамо у вигляді:maxF=ƒ(X), (1),q_i(X)≤b_i (i=1,m)^, (2)x_j ≥0 (j=1,n) (3)

Теорема Куна—Такера Вектор X* є опти­мальним розв'язком задачі (1)—(3) тоді і тільки тоді, коли існує такий вектор ٨*, що при X* ≥ 0, ٨*≥ 0 для всіх Х≥0, ٨≥0 точка (Х*,٨*) є сідловою точкою функції Лагранжа L(X,٨)= ƒ(X)+ λ_i (bi - qi(X)),і функція мети f(X) для всіх Х≥0 угнута, а функції q_i(X (i = 1,m) —опуклі.