10. Загальна постановка задачі лінійного програмування. Приклади економічних задач лінійного програмування.

Мат. програмування – це розділ мат-ки, який розробляє теорію та чисельні методи для розвязку зад.на екстремум функ-ії багатьох змінних з обмеженнями області їх змінних. У найбільш загал. вигляді зад. мат.прог. мають такий вигляд:

Знайти: за умов ;

– цільова функція

Х – вектор керованих змінних

У- вектор некерованих змінних

- функція споживання і-того ресурсу

В залежності від вигляду цільової функції зад. мат.прог. поділяються на такі типи: 1)Лінейне, якщо і змінюються від 1 до , то вони є лінійними функ-ями відносно змінної х; 2)Нелінійне, якщо хочаб одна з ф-ій є нелінійною ф-єю відносно Х; 3)Дискретне (цілочислове), якщо на керованій змінній Х (або на частинних) закладена умова дискретності; 4)Динамічне, якщо цільова ф-я є мультиплікативною ф-єю змінних Х, при цьому ф-я

Приклад зад. лінійного програмув. Задача визначення оптимального плану виробництва: для деякої виробничої системи (цеху, підприємства, галузі) необхідно визначити план випуску n видів продукції Х = (х₁, х₂, …, х_n) за умови найкращого способу використання її наявних ресурсів. У процесі виробництва задіяні m ресурсів: сировина, трудові ресурси, технічне оснащення тощо. Відомі загальні запаси ресурсів , норми витрат і-го ресурсу на виробництво одиниці j-ої продукції та прибуток з одиниці j-ої реалізованої продукції . Критерій оптимальності: максимум прибутку.

Загалом лінійна економіко-математична модель даної задачі матиме вигляд:

за умов:

.

Математична модель виробничої задачі може бути застосована для різних економічних задач, де виникає проблема вибору найкращого варіанта розподілу обмеженої кількості ресурсів, хоча з першого погляду може здаватися, що постановка задачі не стосується виробничих процесів.

11. Модель задачі лінійного програмування в розгорнутому і скороченому вигляді, а також в матричній і векторній формах.

Загальною ЗЛП наз. зад., що має такий вигляд:

(1) при обмеженні (2)

(3)

потрібно знайти значення змінних x₁, x₂, …, x_n, які задовольняють умови (2) і (3), і цільова функція (1) набуває екстремального значення.

Вектор Х = (х₁, х₂, …, х_n),я кий задовольняє обмеження ЗЛП наз. планом, план Х наз. опорним планом основної ЗЛП, якщо система векторів являється m вимірним і входить в розклад (2) з дод. коефіціентами і які є лінійно незалежними, така сист. Векторів наз. лінійно залежними.

Опорний план Х = (х₁, х₂, …, х_n), називається невиродженим, якщо він містить точно m додатних змінних, інакше він вироджений.

Опорний план , за якого цільова функція (1) досягає макс чи мін значення, називається оптимальним розв’язком задачі лінійного програмування.

Звадення ЗЛП до канонічного вигляду озн. таки до такого вигляду, коли в системі обмежень (2) всі b_i (i = 1, 2, …, m) невід’ємні, а всі обмеження є рівностями.

Якщо якесь b_i від’ємне, то, помноживши i-те обмеження на (– 1), дістанемо у правій частині відповідної рівності додатне значення. Коли i-те обмеження має вигляд нерівності а_i1х₁ + а_i2х₂ + … + а_inx_n ≤ b_i, то останню завжди можна звести до рівності, увівши додаткову змінну

x_n+1: a_i1x₁+a_i2x₂+…+ a_in x_n + x_{n + 1} = b_i.

Аналогічно обмеження виду а_k1x₁ + a_k2x₂ + … + a_knx_n ≥ b_k зводять до рівності, віднімаючи від лівої частини додаткову змінну х_n + 2, тобто: a_k1x₁ + a_k2x₂ + … + a_knx_n – x_{n + 2} = b_k (х_n+1 ≥ 0, х_n+2 ≥ 0).

Наприклад (4)

Для зведення нерівності (4) до рівняння необхідно до її лівої частини додати деяку невід’ємну величину х_{n + 1} ≥ 0. У результаті дістаємо лінійне рівняння, яке містить n+1 змінну:

a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n + x_{n + 1} = b.(5)

ЗЛП (1)—(3) можна подати так:

за умов:

(6)

ЗЛП у векторно-матричному вигляді:

max(min) Z = CX

за умов:

АХ = А₀; (2.7)

Х ≥ 0,

де

є матрицею коефіцієнтів при змінних;

— вектор змінних;

— вектор вільних членів;

С = (с₁, с₂, …, с_п) — вектор коефіцієнтів при змінних у цільовій функції.

Часто задачу лінійного програмування зручно записувати у векторній формі:

max(min)Z = CX

за умов:

A₁x₁ + A₂x₂ + … + A_nx_n = A₀; (2.8)

X ≥0,

де

є векторами коефіцієнтів при змінних.