41. Методики нахождения параметров линейного, параболического и показательного трендов и интерпретация их параметров

Тренд – это аналитическая функция, характеризующая зависимость уровней временного ряда от времени.

Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

• линейный тренд у_t = a + b_*t;

• гипербола y_t = a + b/t;

• экспоненциальный тренд y_t = e ^{a + b*t};

• показательный тренд y_t = a _* b^t;

• тренд в форме степенной функции y_t = a _* t^b;

• парабола второго и более высоких порядков y_t = a + b_1*t + b_2*t² +…+b_k*t^k.

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t =1, 2,…,n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда y_t. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Линеаризация представляет собой приведение нелинейной функции к линейному виду. Параболическая функция является нелинейной регрессией по включённым в неё объясняющим переменным, в то время как показательная относится к нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам.

Нелинейная регрессия по включённым параметрам не имеет никаких сложностей для оценки её параметров. Так, в параболе y_t = a + b_1*t + b_2*t² + ɛ заменим переменные t = t₁, t² = t₂, тем самым приведя тренд к линейному виду. Получим двухфакторное уравнение линейной регрессии: y_t = a + b_1*t₁ + b_2*t₂ + ɛ. Применение МНК для оценки параметров параболы второго порядка приводит к следующей системе нормальных уравнений:

Σn*a + b₁Σt +b₂*Σt²,

Σy*t = aΣt + b₁Σt² + b₂Σt³,

Σy*t² = aΣt² + b₁Σt³ + b₂Σt⁴.

Решить её относительно параметров а, b₁ и b₂ можно методом определителей: а=Δа/Δ; b₁=Δb₁/Δ; b₂=Δb₂/Δ, где Δ – определитель системы, а Δа, Δb₁ и Δb₂ – частные определители для каждого из параметров.

Иначе обстоит дело с регрессией, нелинейной по оцениваемым параметрам. Если нелинейная модель внутренне линейна, то с помощью соответствующих преобразований она может быть приведена к линейному виду. Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции.

Показательный тренд y_t = a _* b^t _* ɛ считается внутренне линейным, т.к. логарифмирование приводит его к линейному виду: ln y = ln a + t _* ln b + ln ɛ. Соответственно оценки параметров находятся методом наименьших квадратов.

В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду (показательный тренд), МНК применяется к преобразованным уравнениям. Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия Σ(y – ӯ_t)² →min, то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам.

Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного и экспоненциального трендов.

Параметры линейного тренда можно интерпретировать так: а – начальный уровень временного ряда в момент времени t=0, b – средний за период абсолютный прирост уровней ряда. Так, например, для уравнения ӯ_t = 82,66 + 4,72t , описывающего темпы роста номинальной месячной заработной платы за 10 месяцев в % к предыдущему году, темпы роста изменялись от уровня в 82,66% со средним за месяц абсолютным приростом, равным 4,72 проц. пункта. Расчётные значения уровней временного ряда по линейному тренду определяются двумя способами. Во-первых, можно последовательно подставлять в найденное уравнение тренда значения t=1,2,3 и т.д. Во-вторых, в соответствии с интерпретацией параметров линейного тренда каждый последующий уровень ряда – это сумма предыдущего уровня и среднего цепного абсолютного прироста.