Сложный периодический процесс

Пусть u(t) задана на интервале от t₁ до t₂ , а =2п/T частота повторения процесса. Если функция u(t) удовлетворяет условию Дирихле (функция ограниченная, является кусочно-непрерывной и имеет конечное число экстремумов на периоде) ее можно представить рядом Фурье в виде суммы тригонометрических функций

,

где (2)

в тоже время коэффициенты a_k и b_k могут быть представлены в виде

a_k=A_kCos_k, b_k=A_kSin_k, , тогда

Таким образом, любая сложная периодическая функция практически может быть всегда представлена в виде суммы гармонических составляющих и определяется совокупностью значений амплитуд A_k называемую спектром амплитуд и фаз _k называемую спектром фаз.

Полученные соотношения показывают, что спектр периодической функции является не только дискретным, но и гармоническим, так как состоит из равноотстоящих спектральных линий. Если функция обладает дискретным спектром, состоящим из произвольно расположенных на шкале частот спектральных линий, ее называют квази (почти) периодической.

Другим видом записи Фурье разложения является экспоненциальная форма.

, тогда

(3)

Спектром сигнала обычно называют функцию, показывающую зависимость интенсивности различных гармоник в составе сигнала от частоты этих гармоник.

Спектр последовательности прямоугольных импульсов

Периодический процесс в виде последовательности импульсов, аналитически может быть представлен

U₀ -(nT+)≤t≤(nT+)

u(t)= (4)

0 -(nT+)>t>(nT+)

для не симметричного расположения импульса относительно точки отсчета и в виде

U₀ -(nT+/2)≤t≤(nT+/2)

u(t)= (5)

0 -(nT+/2) >t>(nT+/2)

для симметричного расположения. Длительность импульса  определяется как разность отсчетов между двумя моментами времени  =t₂-t₁.

Подставляя значения для u(t) в (2) найдем коэффициенты ряда a₀, a_k, b_k в виде

, которое определяет среднее значение функции,

, (6)

так как , то, подставляя найденные коэффициенты, получим

Отношение /T называют скважностью.

Используя полученные формулы, периодический сигнал может быть представлен в форме

если же начало отсчета выбрать в начале координат, то коэффициенты b_k=0 и

формула принимает вид

(7)

Из (7) видно, что спектр последовательности прямоугольных импульсов состоит из бесконечного числа гармонических составляющих с частотами кратными частоте ₁, амплитуда которых изменяется в соответствии с функцией Sa(х) и, тем, самым определяет форму спектра

A()=A_k=2U₀(/T)Sa(k₁)=2U₀(/T)Sa() ( 8 )

в виде огибающей амплитуд, принимающей на частотах (2nπ/)=₀ нулевые значения, а на частотах [(2n+1)π/]=_m максимальные. На частоте ₀=0, значение огибающей равно (2U₀/T).

Рис.1. Последовательность прямоугольных импульсов и ее спектр

Сигналы типа меандра могут быть представлены в виде

u(t)=(4U₀/π)[(Sin₁t)+1/3(Sin3₁t)+1/5(Sin5₁t)+...], а если сигнал имеет симметричное расположение относительно точки отсчета, то в виде

u(t)=(4U₀/π)[Cos₁t-1/3(Cos3₁)+1/5(Cos5₁t)-...].