Одномерная и многомерная фильтрация

Действие одномерного фильтра основано на избирательном поглощении излучения различного спектрального диапазона. Основными характеристиками фильтра такого вида являются спектральный и интегральный коэффициенты пропускания, связь между которыми определяется формулой .

Многомерные фильтры изменяют пространственно-временную форму сигнала, воздействуя на его пространственно-частотные свойства. К таким фильтрам могут быть отнесены оптико-механические устройства, расположенные в потоке излучения и используемые для фокусировки потока, изменения направления его распространения, ограничения, модуляции, разделения и суммирования потоков. Основными характеристиками таких фильтров являются весовая функция, переходная характеристика и пространственно-частотная характеристика. Весовая функция h(x,y) фильтра определяет его реакцию на воздействие сигнала в виде дельта-функции и отражает распределение мощности сигнала на выходе фильтра, поэтому полный поток излучения на выходе фильтра равен . Переходная характеристика фильтра определяет его реакцию на единичный скачек вида f(x,y)= . Переходная и весовая функции фильтра связаны между собой соотношением . Пространственно-частотная характеристика фильтра определяет степень воздействия фильтра на частотные свойства сигнала и характеризуется отношением пространственно-частотного спектра выходного F_вых[(j_x,j_y) сигнала к пространственно-частотному спектру входного сигнала F_вх(j_x,j_y), то есть (j_x,j_y) =F_вых[(j_x,j_y) / F_вх(j_x,j_y). В тоже время она может быть определена как прямое преобразование Фурье, взятое от весовой функции фильтра

(j_x,j_y) = .

Простейшие виды фильтров

Прямоугольное отверстие. Этот вид фильтра имеет весовую функцию прямоугольной формы, аналитическое выражение которой задается в виде

(x,y)= , а частотная характеристика, определяемая двойным преобразованием Фурье от весовой функции, принимает вид

H(j_x,j_y)= .

Отверстие круглой формы. Этот фильтр описывается круговой весовой функцией задаваемой в полярной системе координат, а амплитудно-частотную характеристику фильтра находят с помощью преобразования Ханкеля при условии, что ()=1. Тогда , где r- радиус диафрагмы. Решение этого интеграла приводит к выражению , которое показывает, что частотная характеристика обладает симметрией вращения.

Вероятностные характеристики обнаружения

Задача любого ОЭП в режиме обнаружения – выдача решения о наличии или отсутствии в поле зрения прибора объекта пеленгации. Информация, которая используется для принятия решения, должна быть извлечена из поступающего на вход прибора воздействия в виде потока энергии. Это воздействие, которое обозначим через y(t), является функцией времени и представляет собой некоторую комбинацию полезного сигнала s(t) и фоновой помехи n(t).

В общем виде характер взаимосвязи полезного сигнала и помехи может быть выражен некоторым оператором:

. (1)

Если оператор вырождается в произведение, т.е.

, (2)

то такая помеха называется мультипликативной. Природа этой помехи часто связана со случайным изменением параметров канала связи, например, коэффициента пропускания атмосферы. Если же оператор может быть представлен в виде суммы, т.е.

, (3)

то такая помеха называется аддитивной. Этот случай легче поддается анализу.

Так как момент появления объекта в поле зрения прибора заранее предсказать невозможно, а помеха имеет случайный характер, то в каждом конкретном случае y(t) является одной из возможных реализаций случайного процесса. Такую реализацию обозначим буквой Y.

Реализация Y может содержать в себе полезный сигнал (если цель находится в поле зрения прибора), а может и не содержать. Обозначим вероятность присутствия полезного сигнала в реализации через P(s/y), а вероятность его отсутствия - через P(0/y). Эти вероятности называются апостериорными условными вероятностями наличия и отсутствия полезного сигнала в реализации. Апостериорными они называются потому, что их можно определить только после опыта, т.е. после получения и анализа реализации. Условными их называют потому, что они соответствуют условию получения данной конкретной реализации. Если вид реализации изменится, то изменятся и получаемые значения P(s/y) и P(0/y).

Величины P(s) и P(0) определяют априорные вероятности наличия и отсутствия полезного сигнала. В задаче обнаружения оба события являются противоположными и справедливы следующие равенства:

; (4)

(5)

. (6)

Величина Λ_а называется абсолютным отношением правдоподобия, оно полностью определяет вероятность наличия (отсутствия) сигнала в реализации.

; (7)

Если бы, например, анализ реализации показал, что Λ_а>1, то P(s/y)>1/2. Следовательно, , и более обоснованным было бы принятие решения «Да» (объект находится в поле зрения прибора), чем альтернативное «Нет».

К сожалению, для определения Λ_а необходимо извлечь из анализа полученной реализации величину отношения

, (8)

но и знать априори P(s) или P(0), что на практике чаще всего не представляется возможным.

Величина Λ называется отношением правдоподобия, при определенных условиях может быть найдена на основании анализа полученной реализации.

Принятие любого решения всегда может сопровождаться ошибками. Работа прибора в неопределенной ситуации (объект может находиться в поле зрения, а может и не находиться) при воздействии случайных помех также сопровождается ошибками, которые имеют вероятностный характер и, в той или иной степени, характеризуют качество прибора как системы обнаружения.

Возможны ошибки двух типов. Первая, называемая ошибкой ложной тревоги, возникает, когда при отсутствии объекта в поле зрения прибор выдает решение «Да». Вторая, соответствует случаю, когда при наличии объекта в поле зрения прибор выдает решение «Нет». Эта ошибка называется ошибкой пропуска объекта (сигнала).

Обозначим событие, заключающееся в выдаче прибором решения «Да», через γ_s, а событие, заключающееся в выдаче решения «Нет», через γ₀. Тогда вероятности появления ошибок первого и второго типов можно обозначить как Р(γ_s/0) и Р(γ₀/s).

Вероятность Р_л.т.= Р(γ_s/0), т.е. вероятность принятия решения γ_s («Да») при условии отсутствия объекта обнаружения в поле зрения прибора, называется условной вероятностью ложной тревоги.

Вероятность Р_пр.= Р(γ₀/s), т.е. вероятность принятия решения γ₀ («Нет») при условии наличия объекта в поле зрения, называется условной вероятностью пропуска объекта.

Р(γ₀/s)+ Р(γ_s/s)=1

Р(γ₀/0)+ Р(γ_s/0)=1,

отсюда можно получить:

Р_обн= Р(γ_s/s)=1 - Р(γ₀/s)=1 – Р_пр ;

Р_п.н= Р(γ₀/0)= 1 - Р(γ_s/0)=1 – Р_л.т. .

Величина Р_обн называется условной вероятностью правильного обнаружения, а величина Р_п.н – условной вероятностью правильного необнаружения.

Чем меньше Р_пр и Р_л.т.(т.е. чем большие значения Р_обн и Р_п.н) реализует система обнаружения, тем выше ее качество.

Приемник должен дать ответ: есть или нет объект в поле зрения прибора:

- правильное обнаружение;

- правильное необнаружение;

- ложная тревога, когда полезного сигнала нет, но уровень помех превышает некоторый необходимый для правильного срабатывания ОЭС уровень y₀ ;

- пропуск сигнала, когда объект есть, а система его не фиксирует.

Обозначим через P_s(y) и P_n(y) – условные априорные вероятности смеси сигнала и помехи.

Р_y – плотность вероятности смеси сигнала и помехи;

Р_n - плотность вероятности помехи, тогда условная вероятность правильного обнаружения:

,

а пропуска

.

Если сигнал отсутствует, если уровень порога неправильно выбран, условная вероятность ложной тревоги:

,

а условная вероятность правильного необнаружения:

.

Чем выше y₀, тем выше вероятность правильного обнаружения и ниже вероятность ложной тревоги.