Теорема о пределе сложной функции.

Пусть существует lim (x->x0) g(x)=y0 и существует lim (y->y0) f(y)=A, и кроме того существует проколотая окрестность точки х0, в которой g(x) <> y0. Тогда существует lim (x->x0) f(g(x)) = lim (y->y0) f(y)=A.

39.Признаки существования пределов.

Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограниченной. Например, sin x при x   предела не имеет, хотя  1.

 Укажем два признака существования предела функции.

 Теорема (о промежуточной функции).

 Пусть в некоторой окрестности О (а) точки а функция f(x) заключена между двумя функциями  (x) и  (x), имеющими одинаковый предел А при x  a, то есть  (x)  f(x)   (x) и

 Тогда функция f(x) имеет тот же предел:

 Функция f (x) называется возрастающей на данном множестве X, если f(x₁)<f(x₂) для x₁< x₂ (x₁, x₂  X).

 Функция f(x) называется убывающей на множестве X, если f( ) > f(x₂) для x₁< x₂ (x₁, x₂  X).

 Возрастающая или убывающая функция называется монотонной на данном множестве X.

 Если f( )  f( ) для x₁< x₂, то f(x) называют неубывающей, а если f(x₁)  f(x₂) для x₁< x₂ – не возрастающей. И в этом случае функцию называют монотонной.

 Теорема. Пусть функция f(x) монотонна и ограничена при x a (или при x  a). Тогда существует соответственно  (или ).

Теорема о сохранении функцией знака своего предела

Если функция в данной точке существует, конечный предел отличается от 0, то в некоторой проколотой окрестности жтой точки функция имеет тот же знак, что и в указанном пределе (в частности, она не равна 0).

40.Первый замечательный предел.

Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть

  .

 Этот предел называют первым замечательным пределом. С его помощью вычисляют пределы выражений, содержащих тригонометричские функции.

Следствия

• 

• 

• 

• 

41. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры эквивалентных бесконечно малых функций.

Две бесконечно малые при х а функции (х) и (х) называются эквивалентными при х а, если , то есть  (x)  (x) при x  a.

 Бесконечно малая при х а функция (х) называется функцией более высокого порядка по сравнению с функцией (х) при х а, если .

 В этом случае пишут (х) = о ((х)).

 Так, функция y = х³ является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с y=х при х 0, так как .

42.Второй замечательный предел.Число е.Важные пределы как следствие второго замечательного предела.

 При вычислении пределов вида , где    используется второй замечательный предел:  или  или ,

 Пример. Найти

 Решение. Полагая , получим:  и

 

 Замечание. Показательная функция c основанием  играет большую роль в математике и ее приложениях. Логарифмы с основанием  называют натуральными логарифмами и обозначают символом .

 В заключение приведем еще несколько замечательных пределов:

1)        так как . Окончательно, ;

2)      

3)      

=

4)